Lời giải:

$2M(x)=2x^4+2x^3+4x^2+2=x^4+(x^4+2x^3+x^2)+3x^2+2$
$=x^4+(x^2+x)^2+3x^2+2\geq 2>0$ với mọi $x$

$\Rightarrow M(x)>0$ với mọi $x$ 

$\Rightarrow$ đa thức $M(x)$ vô nghiệm.

\(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1>0\)

=> \(M\left(x\right)=x^2+1\) vô nghiệm

 M(x) = 0    =>  3x⁴ + x² + 4 = 0  (thay đa thức bằng 0)

                 =>  3x⁴ + x² = -4

mà 3x⁴ \(\ge\)0   

 x²  \(\ge\) 0

nên suy ra:  3x⁴ + x²  \(\ge\) 0

=> x không tồn tại hay đa thức M ko có nghiệm (vô nghiệm)

Ta có : \(x^2\ge0\).Với mọi x \(\in\)I

\(\Rightarrow M\left(x\right)\ge0+1=1\)

Mà để M(x) có nghiệm thì M(x) phải bằng 0

=>M(x) vô nghiệm

có \(x^4\ge0\)với mọi x ; \(2x^2\ge0\)với mọi x 

=> \(x^4+2x^2\ge0\)với mọi x

=> \(x^4+2x^2+1>0\)với mọi x 

=> M(x) = x^4 + 2x^2 + 1 luôn khác 0

=> M(x) không có nghiệm 

=> đpcm

tk cho mk nha !!!!~~

a/ \(M\left(x\right)=-x^2+5\)

Có \(-x^2\le0\forall x\)

=> \(M\left(x\right)\le5\forall x\)

=> M(x) không có nghiệm.

2/

Thay \(x=\dfrac{1}{2}\) vào đa thức M(x) có

\(M\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}a+\dfrac{5}{2}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}a=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a=2\)

Vậy...

giả sử đa thức có nghiệm khi \(M\left(x\right)=-2014-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2014=0\)vô lí vì \(x^2\ge0\forall x;2014>0\)

Vậy giả sử là sai hay ta có đpcm ( đa thức trên ko có nghiệm )

Ta có: \(-x^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-2014-x^2< 0\)

hay \(M\left(x\right)< 0\)

\(\Rightarrow\)Đa thức \(M\left(x\right)=-2014-x^2\) vô nghiệm   (đpcm)

pt : \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-1=0\)

\(\Delta=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-4.1.\left(m^2+m-1\right)\\ =4m^2+4m+1-4m^2-4m+4=5>0\)

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi ét :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+1}{2}\\x_1.x_2=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\left(x_1+x_2\right)^2=4m^2+4m+1\\4x_1x_2=4m^2+4m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=5\) ( Không phụ thuộc vào m - DPCM )

Hệ thức viet này có vẻ không đúng lắm

Bạn xem lời giải của mình nhé:

Giải:

\(x^2\ge0\forall x\\ 4>0\\ \Rightarrow x^2+4>0\forall x\\ \Rightarrow M_{\left(x\right)}>0\forall x\\ \Rightarrow M_{\left(x\right)}\ne0\forall x\)

Vậy đa thức M(x) vô nghiệm.

Chúc bạn học tốt!

Vì \(^{x^2\ge0}\)

\(\Rightarrow x^2+4\ge4\)

Vậy đa thức trên không có nghiệm

\(M\left(x\right)=x^2+4\)

Vì \(x^2>=0\) với mọi x E R

=>\(x^2+4>=0+4=4>0\) với mọi x E R

=>M(x) vô nghiệm