a: Đặt I(x;y)

I(x;y); A(4;6); B(-3;5); C(1;7)

\(IA^2=\left(4-x\right)^2+\left(6-y\right)^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-6\right)^2\)

\(IB^2=\left(-3-x\right)^2+\left(5-y\right)^2=\left(x+3\right)^2+\left(y-5\right)^2\)

\(IC^2=\left(1-x\right)^2+\left(7-y\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-7\right)^2\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên IA=IB=IC

=>\(IA^2=IB^2=IC^2\)

=>\(\begin{cases}\left(x-4\right)^2+\left(y-6\right)^2=\left(x+3\right)^2+\left(y-5\right)^2\\ \left(x+3\right)^2+\left(y-5\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-7\right)^2\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x^2-8x+16+y^2-12y+36=x^2+6x+9+y^2-10y+25\\ x^2+6x+9+y^2-10y+25=x^2-2x+1+y^2-14y+49\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-8x-12y+52=6x-10y+34\\ 6x-10y+34=-2x-14y+50\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-14x-2y=-18\\ 8x+4y=16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-28x-4y=-36\\ 8x+4y=16\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-28x-4y+8x+4y=-36+16\\ 8x+4y=16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-20x=-20\\ 2x+y=4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=1\\ y=4-2x=4-2=2\end{cases}\)

=>I(1;2)

I(1;2); A(4;6)

\(IA^2=\left(4-1\right)^2+\left(6-2\right)^2=3^2+4^2=25\)

=>\(R=\sqrt{25}=5\)

Phương trình đường tròn (T) là:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=R^2=25\)

Ta có: \(3\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 3\overrightarrow {AB}  + 3.\left( {2\overrightarrow {BC} } \right) - \left[ {2\overrightarrow {AB}  + 2.\left( {3\overrightarrow {BC} } \right)} \right]\)

\[ = 3\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC}  - \left( {2\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC} } \right)\]\[ = 3\overrightarrow {AB}  + 6.\overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {AB}  - 6.\overrightarrow {BC} \]

\[ = \left( {3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {6.\overrightarrow {BC}  - 6.\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\]

a) \(\overrightarrow{AB}\left(2;-2\right)\); \(\overrightarrow{CA}=\left(4;-4\right)\).
Vì \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{-2}{-4}\) nên \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CA}\) cùng phương . Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
\(\overrightarrow{AB}\left(2;1\right)\); \(\overrightarrow{AC}\left(m+3;2m\right)\).
3 điểm A, B, C thẳng hàng nên hai véc tơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) cùng phương.
Suy ra: \(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{2m}{1}\Leftrightarrow m+3=4m\)\(\Leftrightarrow m=1\).

Theo hệ trục toạ độ ( bạn tự vẽ nha ), để ABCD là hình vuông => \(A\left(-2;-2\right)\)

Ta có : độ dài AB=\(\sqrt{\left(-2+2\right)^2+\left(-2-3\right)^2}=\sqrt{25}=5\)

=> Diện tích của hình v ABCD=\(5^2=25\)( đơn vị )

Thanks

a) 

b) Vì tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:

\(\overrightarrow {OD}  = \left( { - 1;4} \right),\overrightarrow {OE}  = \left( {0; - 3} \right),\overrightarrow {OF}  = \left( {5;0} \right)\)

c) 

Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ   và \(\overrightarrow j \)là

 và \(\overrightarrow j  = (0;1)\)

a) \(\overrightarrow{BA}\left(4;2\right);\overrightarrow{BC}\left(3;-1\right)\).
Vì \(\dfrac{4}{3}\ne\dfrac{2}{-1}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\) không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) \(cos\widehat{ABC}=cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{4.3+2.\left(-1\right)}{\sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\)\(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Suy ra: \(\widehat{ABC}=45^o\).

a) Từ điểm I trên AB thỏa mãn IA = 1/2 IB ta vẽ đường song song với BC. Điểm N nằm trên đó.

B) tương tự câu a)

Do M thuộc Ox, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(m;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-m;-4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(4-m;5\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-m;-9\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(9-3m;6\right)\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(4-2m;-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(Q=2\sqrt{\left(9-3m\right)^2+6^2}+3\sqrt{\left(4-2m\right)^2+\left(-4\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(6m-18\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(12-6m\right)^2+12^2}\)

\(=\sqrt{\left(18-6m\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(6m-12\right)^2+12^2}\)

\(Q\ge\sqrt{\left(18-6m+6m-12\right)^2+\left(12+12\right)^2}=6\sqrt{17}\)

\(\Rightarrow a-b=-11\)