Cách làm:

(1+x⁴)(1+y⁴)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

\(\left[1+\left(x^2\right)^2\right]+\left[x+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\left[1+\left(x^2\right)\right]^2+\left[1+\left(y\right)^2\right]^2\ge\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2\)

Để đạt Min thì \(\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]\)

Đặt xy=t, ta có:

\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)+\left(3xy-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left[\left(x+y\right)^2-2t\right]^2+4\left(t-1\right)+\left(3t-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(4-2t\right)^2+\left(4t-4\right)\left(3t-1\right)\)

\(\Leftrightarrow P=16-16t+4t^2+12t^2-16t+4\)

\(\Leftrightarrow P=16t^2-32t+16+4\)

\(\Leftrightarrow P=\left(4t-4\right)^2+4\)

Ta có: \(\left(4t-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(4t-4\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow Min_P=4\)

@Phương An

\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)\)

Vì \(\left(1+x^4\right)\ge1;\left(1+y^4\right)\ge1\) => Để \(P_{min}\Leftrightarrow4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)\)

\(\Rightarrow4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)=0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)=0\)

Mà \(x+y=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left(xy-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(1+1^4\right)\cdot\left(1+1^4\right)+4\cdot\left(1\cdot1-1\right)\left(3\cdot1\cdot1-1\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot2+0\)

\(\Rightarrow P_{min}=4\)

x+y=2

=> Cho x=1 và y=1 (nhỏ nhất)

Thay vào P, kết quả là 4.

P/s: đây là ý kiến riêng của mik để làm bài violympic nhanh nhất có thể, còn kq bài này mik ko chắc :)

@Võ Hồng Phúc

@Nguyễn Việt Lâm

@Akai Haruma

bài 2 nhân p vs x+y+xy rồi t định áp dụng bđt (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 nhưng vướng

bài 1 sai đề

3. 

P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy

P=x^2+y^2-xy+xy

P=x^2+y^2

\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\)

\(P\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)

\(P_{min}=4+2\sqrt{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=\frac{1}{3+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, x và y là nghiệm: \(t^2-t+\frac{1}{3+\sqrt{3}}=0\)

Tính tay ra nghiệm pt này để tìm điểm rơi nha (có nghiệm bt)

@Nguyễn Việt Lâm

\(\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge\dfrac{3\left(xy+x+y\right)}{xy+x+y}=3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{8\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)

\(A\ge\dfrac{8}{9}.3+2\sqrt{\dfrac{\left(x+y+1\right)^2\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=\dfrac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)