a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).

\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha  \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Để \(MNPQ\) là hình thoi thì \(MN = NP\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}\)

Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\) thì \(MNPQ\) là hình thoi.

Giả sử có mặt phẳng (β) bất kì chứa đường thẳng d.

M là điểm chung của d và (α) nên:

M ∈ (α) (1)

và M ∈ d, mà d ⊂ (β) ⇒ M ∈ (β) (2).

Từ (1) và (2) suy ra M là điểm chung của (α) và (β).

a) Trong mặt phẳng (α) vì AB và CD không song song nên AB ∩ DC = E

=> E ∈ DC, mà DC ⊂ (SDC)

=> E ∈ ( SDC). Trong (SDC) đường thẳng ME cắt SD tại N

=> N ∈ ME mà ME ⊂ (MAB)

=> N ∈ ( MAB). Lại có N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)

b) O là giao điểm của AC và BD => O thộc AC và BD, mà AC ⊂ ( SAC)

=> O ∈( SAC), BD ⊂ (SBD) , O ∈ (SBD)

=> O là một điểm chung của (SAC) và (SBD), mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO

Trong mặt phẳng (AEN) gọi I = AM ∩ BN thì I thuộc AM và I thuộc BN

Mà AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD). Như vậy I là điểm chung của (SAC) và (SBD) nên I thuộc giao tuyến SO của (SAC) và (SBD) tức là S, I, O thẳng hàng hay SO, AM, BN đồng quy.

Vì \(O \in \left( \alpha  \right)\) nên \(O\) là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) theo phương \(d\).

Vì ba điểm \(O,A,B\) thẳng hàng nên ba điểm \(O,A',B'\) thẳng hàng.

\(AA'\parallel BB' \Rightarrow \frac{{AB}}{{OA}} = \frac{{A'B'}}{{OA'}} \Leftrightarrow \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{OA'}}{{OA}}\)

a) Để \(A'B' = AB\) thì \(OA' = OA\).

Vậy đường thẳng \(d\) song song với \(AA'\) và \(OA' = OA\).

b) Để \(A'B' = 2AB\) thì \(OA' = 2OA\).

Vậy đường thẳng \(d\) song song với \(AA'\) và \(OA' = 2OA\).

a) (α) // AC, AC ∈(ABC), M là điểm chung của ( α) và (ABC) => (α) ∩ (ABC) = MN // AC. Các giao tuyến sau tương tự

b) Thiết diện là hình bình hành MNPQ

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}d \subset \left( {AMNC} \right)\\d\parallel \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AMNC} \right) = AC\end{array} \right\} \Rightarrow d\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC\)

Mà \(a\parallel NC \Rightarrow MA\parallel NC\)

\( \Rightarrow AMNC\) là hình bình hành.

b) Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa \(b\) và song song với \(a\), \(c = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}NC\parallel a\\N \in b\end{array} \right\} \Rightarrow NC \subset \left( \beta  \right)\)

\( \Rightarrow C \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) \Rightarrow C \in c\)

Vậy điểm \(C\) luôn luôn chạy trên đường thẳng \(c\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cố định.

c) Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), kẻ \(AH \bot c\)

Vì \(c\) cố định nên \(AC \ge AH\)

\(AMNC\) là hình bình hành \( \Rightarrow MN = AC\)

Vậy \(MN \ge AH\)

Vậy \(MN\) nhỏ nhất khi \(C \equiv H\). Khi đó \(d\parallel AH\).

a) Gọi O = AC ∩ BD; O' là trung điểm A'C' thì OO' // AA'

=> OO'// d // b mà O BD mp (b;d)

=> OO' mp(b;d). Trong mp (b;d) ( mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song); d ∩ B'O' = D' là điểm cần tìm

b) Chứng minh mp(a;d) // mp( b;c) , mặt phẳng thứ 3 (A'B'C'D') cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến song song : A'D' // B'C'. Chứng minh tương tự được A'B' // D'C'. Từ đó suy ra A'B'C'D' là hình bình hành