Để \(\dfrac{10n^2+9n+4}{20n^2+20+9}\) tối giản

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮1;20n^2+20n+9⋮1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow2\left(10n^2+9n+4\right)-\left(20n^2+20n+9\right)⋮1\)

\(\Rightarrow20n^2+18n+8-20n^2-20n+9⋮1\)

\(\Rightarrow-2n-1⋮1\) (luôn đúng \(\forall n\in N\))

\(\Rightarrow dpcm\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số 10�2+9�+420�2+20�+920n2+20n+910n2+9n+4​ tối giản

a/

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 2n+3)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow 2n+3-2(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$
Vậy $\frac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$

b/

Cho $a=2, b=2$ thì phân số đã cho bằng $\frac{24}{26}$ không là phân số tối giản bạn nhé. 

Bạn xem lại đề.

ĐKXĐ x\(\ne\) \(\dfrac{4}{11}\)

\(\Rightarrow\left(12x+1\right)18+\left(10x-4\right)\left(11x-4\right)2=\left(20x+17\right)\left(11x-4\right)\)

\(\Leftrightarrow216x+18+\left(110x^2-40x-44x+16\right)2=220x^2-80x+187x-68\)

\(\Leftrightarrow216x+18+220x^2-168x+32=220x^2+107x-68\Leftrightarrow220x^2-48x+50=220x^2+107x-68\Leftrightarrow220x^2+107x+48x-220x^2=50+68\Leftrightarrow155x=138\Leftrightarrow x=\dfrac{138}{155}\left(TM\right)\)Vậy...

a: =>\(\dfrac{5x-15+4x-8}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{1}{x}\)

=>\(\dfrac{9x-23}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{1}{x}\)

=>9x^2-23x=x^2-5x+6

=>8x^2-18x-6=0

=>\(x=\dfrac{9\pm\sqrt{129}}{8}\)

b: =>\(\dfrac{12x+1}{11x-4}=\dfrac{20x+17-20x+8}{18}=\dfrac{25}{18}\)

=>216x+18=275x-100

=>-59x=-118

=>x=2

Đặt \(d\) là \(\text{Ư}CLN\) \(\left(12n+1;30n+2\right)\)

Theo bài ra: \(12n+1⋮d\Rightarrow5.\left(12n+1\right)⋮d\left(1\right)\)

                    \(30n+2⋮d\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(5.\left(12n+1\right)-2.\left(30n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Mà phân số tối giản thì có \(\text{Ư}CLN\) của tử số và mẫu số là 1

Vậy \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản

Gọi ƯCLN(3n + 2, 5n + 3) = d (d thuộc N*)

Ta có:

3n + 2 chia hết cho d

5n + 3 chia hết cho d

<=> 5(3n + 2) chia hết cho d = (15n + 10) chia hết cho d

<=> 3(5n +3) chia hết cho d = (15n + 9) chia hết cho d

=> (15n + 10) - (15n + 9) chia hết cho d = 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy Phân số $\frac{3n+2}{5n+3}$ là phân số tối giản.

tự làm nha thấy đúng cho mik một like

f: =>\(\dfrac{14}{3\left(x-4\right)}-\dfrac{x+2}{x-4}=\dfrac{-3}{2\left(x-4\right)}-\dfrac{5}{6}\)

=>28-6(x+2)=-9-5(x-4)

=>28-6x-12=-9-5x+20

=>-6x+16=-5x+11

=>-x=-5

=>x=5

d: =>\(\dfrac{12x+1}{11x-4}=\dfrac{20x+17-20x+8}{18}=\dfrac{25}{18}\)

=>25(11x-4)=18(12x+1)

=>275x-100=216x+18

=>59x=118

=>x=2

f: =>\(\dfrac{14}{3\left(x-4\right)}-\dfrac{x+2}{x-4}=\dfrac{-3}{2\left(x-4\right)}-\dfrac{5}{6}\)

=>28-6(x+2)=-9-5(x-4)

=>28-6x-12=-9-5x+20

=>-6x+16=-5x+11

=>-x=-5

=>x=5

Gọi \(\text{ƯCLN(21n+4,14n+3)}\) là \(\text{d}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{21n+4 ⋮ d}\)

\(\text{14n+3 ⋮ d}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{[3(14n+3)-2(21n+4) ⋮ d}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{[42n+9-42n-8] ⋮ d}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{1 ⋮ d}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{d =1( đpcm )}\)