a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy) (x,y≥0).
Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250
Tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)
Vì mỗi chiếc máy tính loại A có giá 10 triệu và mỗi máy tính loại B có giá 20 triệu nên tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y ≤ 4 000 hay x + 2y ≤ 400.
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le250\\x+2y\le400\end{matrix}\right.\)
Ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:
+) Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
+) Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).
+) Xác định miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 250.
- Vẽ đường thẳng d: x + y = 250.
- Vì 0 + 0 = 0 < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250
Do đó miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 250 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.
+) Xác định miền nghiệm D4 của bất phương trình x + 2y ≤ 400.
- Vẽ đường thẳng d’: x + 2y = 400.
- Vì 0 + 2.0 = 0 < 400 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 400
Do đó miền nghiệm D4 của bất phương trình x + 2y < 400 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác OABC với O(0;0), A(0; 200), C(100;150), B(250;0)
b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: F(x;y) = 2,5x + 4y (triệu đồng).
Vậy F(x;y) = 2,5x + 4y.
c) Bài toán chuyển về tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le250\\x+2y\le400\end{matrix}\right.\)
Người ta đã chứng minh được, giá trị F(x; y) lớn nhất tại (x; y) là tọa độ của một trong bốn đỉnh O; A; B; C.
Tại O(0; 0), ta có: F(0; 0) = 2,5 . 0 + 4 . 0 = 0;
Tại A(0; 200), ta có: F(0; 200) = 2,5 . 0 + 4 . 200 = 800;
Tại B(100; 150), ta có: F(100; 150) = 2,5 . 100 + 4 . 150 = 850;
Tại B(250; 0), ta có: F(250; 0) = 2,5 . 250 + 4 . 0 = 625.
Do đó F(x;y) lớn nhất bằng 850 tại x = 100 và y = 150.
Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.
