Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

ABC cân tại A nên H đồng thời là trung điểm BC

\(\Rightarrow BH=CH=6\left(cm\right)\)

Trong tam giác vuông ABH:

\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=2\sqrt{13}\)

Gọi D là trung điểm AB, qua D kẻ đường trung trực AB, kéo dài cắt AH tại O

\(\Rightarrow\) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Rightarrow OA=R\)

\(AD=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{13}\)

Trong tam giác vuông ABH: \(cos\widehat{BAH}=\dfrac{AH}{AB}\)

Trong tam giác vuông ADO: \(cos\widehat{BAH}=\dfrac{AD}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AD}{AO}\Rightarrow R=AO=\dfrac{AB.AD}{AH}=6,5\left(cm\right)\)

4:

a: Gọi độ dài cạnh góc vuông cần tìm là x

Theo đề, ta có: x^2+x^2=a^2

=>2x^2=a^2

=>x^2=a^2/2=2a^2/4

=>\(x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

b:

Độ dài cạnh là;

\(h:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2h}{\sqrt{3}}\)

5: 

ΔAHB vuông tại H

=>AH^2+HB^2=AB^2

=>13^2=12^2+HB^2

=>HB=5cm

BC=5+16=21cm

ΔAHC vuông tại H

=>AH^2+HC^2=AC^2

=>AC^2=16^2+12^2=400

=>AC=20(cm)

a, Xét \(\Delta CHA.và.\Delta CAB\), ta có:

\(\widehat{CHA}=\widehat{CAB}=90^o\)

\(\widehat{C.}chung\)

\(\Rightarrow\Delta CHA\sim\Delta CAB\) ( g.g )

b, \(Vì.\Delta CHA\sim\Delta CAB\)

\(\Rightarrow\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\\ \Rightarrow AC^2=CB.CH\left(đpcm\right)\)

c. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\\ \Rightarrow BC^2=9^2+12^2=225\\ \Rightarrow BC=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)

\(Vì.\Delta CHA\sim\Delta CAB\)

 \(\Rightarrow\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{CA}{CB}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{CA.AB}{CB}=\dfrac{12.9}{15}=7,2\left(cm\right)\)