Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1, so sánh hai biểu thức sau:
\(M=\frac{n^5+1}{n^6+1}\) và \(N=\frac{n^4+1}{n^4+1}\)
Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1, so sánh hai biểu thức sau:
A = \(\frac{n^5+1}{n^6+1}\) và B = \(\frac{n^4+1}{n^5+1}\)
\(1-A=\frac{n^6-n^5}{n^6+1}=\frac{n^5\left(n-1\right)}{n^6+1}\)
\(1-B=\frac{n^5-n^4}{n^5+1}=\frac{n^4\left(n-1\right)}{n^5+1}=\frac{n^5\left(n-1\right)}{n^6+n}\)
Vì n6 +1 < n6 + n
=> 1 -A > 1-B
Hay A < B
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 ,so sánh 2 biểu thức sau: A = \(\frac{n^5+1}{n^6+1}\) và B= \(\frac{n^4+1}{n^5+1}\)
\(1-A=1-\frac{n^5+1}{n^6+1}=\frac{n^5\left(n-1\right)}{n^6+1}\)
\(1-B=1-\frac{n^4+1}{n^5+1}=\frac{n^4\left(n-1\right)}{n^5+1}=\frac{n^5\left(n-1\right)}{n^6+n}\)
Vì n6 + 1 < n6 +n
=> 1 -A > 1-B
=> A < B
Tập hợp các số tự nhiên n để biểu thức\(\frac{4}{n-1}+\frac{6}{n-1}-\frac{3}{n-1}\) có giá trị là số nguyên là {.....}
Giải:
Ta có: \(\frac{4}{n-1}+\frac{6}{n-1}-\frac{3}{n-1}=\frac{7}{n-1}\)
Mà \(\frac{4}{n-1}+\frac{6}{n-1}-\frac{3}{n-1}=\frac{7}{n-1}\in Z\)
\(\Rightarrow7⋮n-1\)
\(\Rightarrow n-1\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)
+) \(n-1=1\Rightarrow n=2\)
+) \(n-1=-1\Rightarrow n=0\)
+) \(n-1=7\Rightarrow n=8\)
+) \(n-1=-7\Rightarrow n=-6\)
Vậy \(n\in\left\{2;0;8;-6\right\}\)
so sánh hai phân số (biết n là số tự nhiên)
a \(\frac{n+1}{n+2}\)và \(\frac{n+3}{n+4}\)
b \(n+3\)\(và\)\(\frac{n+1}{n-4}\)
Ta có : \(\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\)
\(\frac{n+3}{n+4}=1-\frac{1}{n+4}\)
Mà \(\frac{1}{n+2}>\frac{1}{n+4}\)
Nne : \(\frac{n+1}{n+2}< \frac{n+3}{n+4}\)
Cho hai số tự nhiên m và n thỏa mãn \(\frac{m+1}{n}\)+\(\frac{n+1}{m}\)là số nguyên. Chứng minh ước chung lớn nhất của a và b không lớn hơn\(\sqrt{m+n}\)
thầy nói đề sai rồi mà
phải là cm ƯCLN của a và b ko lớn hơn \(\sqrt{m+n}\)
Gọi \(gcd\left(m;n\right)=d\Rightarrow m=ad;n=bd\left(a,b\inℕ^∗\right)\) và \(\left(m;n\right)=1\)
Ta có:
\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+\left(a+b\right)}{abd}\)
\(\Rightarrow a+b⋮d\Rightarrow a+b\ge d\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)
Vậy ta có đpcm
shitbo
Bài từ lâu, giờ mò lại làm vui ha :)))
Bài tập 3. Với giá trị nào của số tự nhiên a thì \(\frac{5\cdot a-17}{4\cdot a-23}\)có giá trị lớn nhất.
Bài tập 4. Tìm số tự nhiên n để phân số B = \(\frac{10\cdot n-3}{4\cdot n-10}\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm
giá trị lớn nhất đó.
Bài tập 5. Tìm số tự nhiên n để phân số \(\frac{7\cdot n-8}{2\cdot n-3}\) có giá trị lớn nhất.
Bài tập 6. Tìm x để phân số \(\frac{1}{x^2+1}\) có giá trị lớn nhất.
Bài tập 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức sau: A= \(\frac{6\cdot n-1}{3\cdot n-2}\) (với n là số nguyên )
Bài tập 8: cho phân số A= \(\frac{n+1}{n-3}\) . Tìm n để có giá trị lớn nhất.
Bài tập 9: ho phân số: p= \(\frac{6\cdot n+5}{3\cdot n+2}\) (n \(\in\) N Với giá trị nào của n thì phân số p
có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn nhất đó.
CMR: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 2 thì \(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}}< \frac{n}{n+1}\)
số tự nhiên n lớn nhất để A = \(\frac{4}{n-1}\)+ \(\frac{6}{n-1}\)- \(\frac{3}{n-1}\) là số tự nhiên
Số A =1
Số n=8
Vì n-1 là mẫu số chung ta tính ở tử bằng 7 để số A thành 1 số tự nhiên thì n phải bằng 8 vì 8-1=7 và 7/7=1
\(A=\frac{4}{n-1}+\frac{6}{n-1}-\frac{3}{n-1}=\frac{7}{n-1}\)
Để A thuộc N
=> 7 chia hết cho n - 1
=> n - 1 thuộc Ư(7) = {1 ; 7}
Xét 2 trường hợp , ta có :
n - 1 = 1 => n = 2
n - 1 = 7 => n = 8
Vì n lớn nhất
=> n = 8
\(A=\frac{4}{n-1}+\frac{6}{n-1}-\frac{3}{n-1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{7}{n-1}\)
Để \(A\in N\) thì :
\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(7\right)=\left\{1,7\right\}\)
Thay vào n ta có :
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n-1=1\\n-1=7\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=8\end{cases}}}\)
Để n lớn nhất thì n = 8
Thực hiện phép tính sau: (với n là số tự nhiên, n lớn hơn hoặc bằng 2)
\(D=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right).\left(1-\frac{1}{4^2}\right).....\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
hỏi dễ hơn đi