a) Vì \(BC\bot AH\Rightarrow BC\) là tiếp tuyến của (A;AH)

Vì BD,BH là tiếp tuyến \(\Rightarrow AB\) là phân giác \(\angle DAH\Rightarrow\angle DAH=2\angle BAH\)

Vì CE,CH là tiếp tuyến \(\Rightarrow AC\) là phân giác \(\angle EAH\Rightarrow\angle EAH=2\angle CAH\)

\(\Rightarrow\angle DAH+\angle EAH=2\left(\angle BAH+\angle CAH\right)=2\angle BAC=180\)

\(\Rightarrow\angle DAE=180\Rightarrow D,A,E\) thẳng hàng

b) Vì  \(AB\) là phân giác \(\angle DAH\)

\(\Rightarrow\angle DAB=\angle BAH=90-\angle ABC=\angle ACB\)

\(\Rightarrow DA\) là tiếp tuyến của (BAC) nên DE là tiếp tuyến của (BAC)

mà \(\angle BAC=90\Rightarrow\) (BAC) là đường tròn đường kính (BC)

nên ta có đpcm

Tự vẽ hình nha !

a) Ta có AH vuông góc BC 

H thuộc (A;AH)

=> BC là tiếp tuyến của (A;AH)

Xét (A) có DB và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau

=> A1 = A2

Tương tự ta chứng minh được : A3 = A4

Mà A2 + A3 = 90 độ

=> A1 + A2 + A3 + A4 = 90 độ + 90 độ = 180 độ

=> DAE = 180 độ

=> D,A,E thẳng hàng

b) Gọi M là trung điểm BC

Theo tính chất tiếp tuyến ta có :

AD vuông góc BD

AE vuông góc CE

=> BD//CE

=> BDEC là hình thang

=> MA là đường trung bình của hình thang BDEC

=> MA // BD

=> MA vuông góc DE

Xét tam giác vuông ABC có : MA = MB = MC

=> M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn tâm M đường kính BC

a, Vì BH, BD là tiếp tuyến của (A;AH)

=>  H A D ^ = 2 H A B ^

Vì CH,CE là tiếp tuyến của  (A;AH)

=>  H A E ^ = 2 H A C ^

=>  H A D ^ + H A E ^ = 2 H A B ^ + H A C ^ = 180 0

=> D,A,E thẳng hàng

b, HS tự làm

a: Xét (A) có

BD,BH là các tiếp tuyến

nên BD=BH và AB là phân giác của góc HAD(1)

Xét (A) có

CH,CE là các tiếp tuyến

nên CH=CE và AC là phân giác của góc HAE(2)

BH+CH=BC

=>BC=CE+BD

b: Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

c: Gọi M là trung điểm của BC

Xét hình thang BDEC có

M,A lần lượt là trung điểm của BC,DE

nên MA là đường trung bình

=>MA//CE//BD

=>MA vuông góc với BC

=>DE là tiếp tuyến của (M)

a/ Xét \(\Delta ABC\) có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)

Ta có

\(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Ta có 

\(\widehat{ACE}=\widehat{ACB}\)  (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}\right)+\left(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=180^o\) 

=> BD//CE (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc trong cùng phía bù nhau thì chúng // với nhau)

Ta có 

\(AD\perp BD\Rightarrow AD\perp CE\)

\(AE\perp CE\Rightarrow AE\perp BD\)

=> AD và AE cùng vuông góc với BD => AD và AE trùng nhau (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => D; A; E thẳng hàng

b/

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A => A thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm BC nối AI ta có

BD//CE => BDEC là hình thang

AD=AE (bán kính (O))

IB=IC

=> AI là đường trung bình của hình thang BDEC => AI//CE mà \(CE\perp DE\Rightarrow AI\perp DE\) => DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC hay DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE.
Suy ra: ^DAE=^DAB+^BAH+^HAC+^CAE=2^BAH+2^HAC=2^BAC=180o.
Do ^DAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a:  DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có BD⊥DE,CE⊥DE. Suy ra BD//CE.

Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra OA⊥DE mà OA=BC2  nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.

Thế thì $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.

a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\widehat{DAB}=\widehat{BAH}DAB=BAH; \widehat{HAC}=\widehat{CAE}HAC=CAE.
Suy ra: \widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAH}+\widehat{HAC}+\widehat{CAE}DAE=DAB+BAH+HAC+CAE=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=2BAH+2HAC=2\widehat{BAC}=180^o=2BAC=180o.
Do \widehat{DAE}=180^oDAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a:  DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có $BD\perp DE,CE\perp DE$. Suy ra BD//CE.

Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra $OA\perp DE$ mà OA=\dfrac{BC}{2}OA=2BC​ nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.

Thế thì $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.

Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

AD ⊥ DB; AE ⊥ CE

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: MA // BD ⇒ MA ⊥ DE

Trong tam giác vuông ABC ta có : MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là tia phân giác của góc HAD

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAH}\)

AC là tia phân giác của góc HAE

\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{CAE}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HEA}=2.\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=2.\widehat{BAC}=2.90^o=180^o\)

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: \(AD\downarrow BD;AE\downarrow CE\)

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: \(MA\\ BD\Rightarrow MA\downarrow DE\)

Trong tam giác vuông ABC ta có: MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC

a) theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

ta có : DAB = BAH và HAC = CAE

DAH + HAE = 2(BAH + HAC) = 2.90 = 180

vậy D , A , E thẳng hàng

b) gọi M là trung diểm của BC

mà DA = AE = R

\(\Rightarrow\) MA là đường trung bình của hình thang BDEC nên MA // DB \(\Rightarrow\) MA \(\perp\) DE

mà MA = MB = MC nên MA là bán kính của đường tròn có đường kính BC

vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC

\(\Leftrightarrow\) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC (đpcm)