E là trung điểm của AB (CE là đường trung tuyến của tam giác ABC)

D là trung điểm của AC (BD là đường trung tuyến của tam giác ABC)

=> ED là đường trung bình của tam giác ABC

=> ED // BC

=> BCDE là hình thang

mà EBC = DCB (tam giác ABC cân tại A)

=> BCDE là hình thang cân

OE = \(\frac{1}{3}CE\) (CE là đường trung tuyến của tam giác ABC)

OD = \(\frac{1}{3}BD\) (BD là đường trung tuyến của tam giác ABC)

mà BD = CE (tam giác ABC cân tại A)

=> OE = OD

F là trung điểm của OB (gt)

H là trung điểm của OC (gt)

=> FH là đường trung bình của tam giác OBC

=> FH // BC

FH = \(\frac{1}{2}BC\)

mà ED // BC (BCDE là hình thang cân)

ED = \(\frac{1}{2}BC\) (ED là đường trung bình của tam giác ABC)

=> FH // ED

FH = ED

=> DEFH là hình bình hành

=> O là trung điểm của EH và DF

=> OE = \(\frac{1}{2}EH\)

\(OD=\frac{1}{2}DF\)

=> EH = 2OE

DF = 2OD

mà OE = OD (chứng minh trên)

=> EH = DF

=> DEFH là hình chữ nhật

O là giao điểm của BD và CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC

=> O là trọng tâm của tam giác ABC

=> AO là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A

=> AO là đường trung trực của tam giác ABC.

=> AO _I_ BC tại I là trung điểm của BC

I là trung điểm của BC (chứng minh trên)

F là trung điểm của BO (gt)

=> FI là đường trung bình của tam giác BCO

=> FI = \(\frac{1}{2}CO\)

mà OH = \(\frac{1}{2}CO\) (H là trung điểm của CO)

=> FI = OH

mà FI // OH (FI là đường trung bình của tam giác BCO)

=> OFIH là hình bình hành

FH // BC (chứng minh trên)

AI _I_ BC (chứng minh trên)

=> AI _I_ FH

=> OFIH là hình thoi

\(a,\) Vì E,D là trung điểm AB,AC nên ED là đường trung bình tam giác ABC

Do đó \(ED//BC;ED=\dfrac{1}{2}BC(1)\)

Vì H,K là trung điểm GB,GC nên HK là đường trung bình tam giác BGC

Do đó \(HK//BC;HK=\dfrac{1}{2}BC(2)\)

Từ \((1)(2)\Rightarrow HK//ED;HK=ED\)

Vậy DEHK là hình bình hành

\(b,\Delta ABC\) cân tại A nên \(AB=AC\Rightarrow \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow AE=EB=AD=DC\)

Ta có \(AB=AC;AE=AD;\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow \Delta ADB=\Delta AEC(c.g.c)\\ \Rightarrow BD=EC\)

Lại có G là trọng tâm tam giác ABC nên \(CK=KG=GE=\dfrac{1}{3}CE\)

\(BH=HG=GD=\dfrac{1}{3}BD\)

Do đó \(KG+GE=HG+GD(\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}CE)\)

\(\Rightarrow EK=HD\)

Vậy DEHK là hình chữ nhật

Lời giải:

Vì $D$ là trung điểm $AC, $E$ là trung điểm $AB$ nên $ED$ là đường trung bình ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$

$\Rightarrow ED\parallel BC$

$\Rightarrow BEDC$ là hình thang.

Mà 2 góc ở đáy $\widehat{B}=\widehat{C}$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow BEDC$ là hình thang cân.

Hình vẽ:

1) Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(gt)

nên O là giao điểm ba đường trung trực của ΔABC

hay AO là đường trung trực của BC

⇒AO⊥BC

Ta có: AO⊥BC(cmt)

AO⊥AE(AE là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O))

Do đó: AE//BC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

2) Xét ΔADE và ΔCDB có 

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDB}\)(hai góc đối đỉnh)

DA=DC(D là trung điểm của AC)

\(\widehat{DAE}=\widehat{DCB}\)(hai góc so le trong, AE//BC)

Do đó: ΔADE=ΔCDB(c-g-c)

⇒AE=CB(hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác ABCE có 

AE//CB(cmt)

AE=CB(cmt)

Do đó: ABCE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Lời giải:

1. 

Vì $BD$ là tia phân giác góc $\widehat{B}$ nên:

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$

$CE$ là tia phân giác $\widehat{C}$ nên:
$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}$

Mà $AB=AC$ nên $\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{EB}$. Theo định lý Talet đảo thì $ED\parallel BC$

Do đó $BEDC$ là hình thang. Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ (do $ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow BEDC$ là htc.

2.

$BEDC$ là htc nên $BE=DC(1)$

$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AD=\frac{AB.DC}{BC}$

$ED\parallel BC$ nên theo định lý Talet:

$\frac{ED}{BC}=\frac{AD}{AC}$

\(\Rightarrow ED=\frac{AD.BC}{AC}=\frac{AB.DC}{BC}.\frac{BC}{AC}=\frac{AB.DC}{BC}.\frac{BC}{AB}=DC(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow BE=DC=ED$

3.

Xét tam giác $DBC$ và $ECB$ có:

$\widehat{DCB}=\widehat{EBC}$ 

$DC=EB$

$BC$ chung

$\Rightarrow \triangle DBC=\triangle ECB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \triangle BOC$ cân tại $O$

Do đó trung tuyến $OI$ đồng thời là đường cao 

$\Rightarrow OI\perp BC(*)$

Mặt khác:

$\widehat{B_1}=\widehat{D_1}$ (so le trong)

$\widehat{C_1}=\widehat{E_1}$

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{E_1}$

$\Rightarrow \triangle OED$ cân tại $O$

Do đó trung tuyến $OJ$ đồng thời là đường cao 

$\Rightarrow OJ\perp ED(**)$

Từ $(*); (**)$ mà $ED\parallel BC$ nên $O, I, J$ thẳng hàng.

Hình vẽ:

1) Xét ΔABC có 

CE là đường phân giác ứng với cạnh AB

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AC}{BC}\)(1)

Xét ΔABC có 

BD là đường phân giác ứng với cạnh AC

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\)(2)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên AB=AC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DC}\)

Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DC}\)(cmt)

nên DE//BC(Định lí Ta lét đảo)

Xét tứ giác BEDC có DE//BC(cmt)

nên BEDC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

2) Ta có: \(\widehat{EDB}=\widehat{DBC}\)(hai góc so le trong, ED//BC)

mà \(\widehat{DBC}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{EBC}\))

nên \(\widehat{EBD}=\widehat{EDB}\)

Xét ΔEBD có \(\widehat{EBD}=\widehat{EDB}\)(cmt)

nên ΔEBD cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Suy ra: ED=EB=DC(đpcm)