Chứng minh vs \(\forall n\) nguyên dương thì \(S_n=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
\(S_n=1^3+2^3+3^3+......+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
mn giải hộ e vs ạ
Chứng minh với mọi n nguyên dương thì:
\(S_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(n+n\right)⋮2^n\)
\(S_n=\frac{1.2.3.4...n\left(n+1\right)\left(n+2\right)...2n}{1.2.3.4...n}\)
\(=\frac{1.3...\left(2n-1\right).2.4...\left(2n-2\right)2n}{1.2.3.4...n}\)
\(=\frac{1.3...\left(2n-1\right).2^n.1.2...n}{1.2...n}\)
\(=2^n.1.3...\left(2n-1\right)⋮2n\)
16 tháng 9 2018 lúc 22:49
Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)
Đặt \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
iopdtg5 r4ytr'hfgo;hrt687y5t53434]\trvf;lkg
1 . Cho S_nfrac{1^2-1}{1}+frac{2^2-1}{2^2}+frac{3^2-1}{3^2}+...+frac{n^2-1}{n^2} ( với ninℕvà n 1)Chứng minh rằng S_n không là số nguyên 2 . Cho fleft(xright)ax^3+4xleft(x^2-1right)+8 và gleft(xright)x^3+4xleft(bx+1right)+c-3trong đó a , b , c là hằng số . Xác định a , b , c để fleft(xright)gleft(xright)
Đọc tiếp
1 . Cho \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\) ( với \(n\inℕ\)và n > 1)
Chứng minh rằng \(S_n\) không là số nguyên
2 . Cho \(f\left(x\right)=ax^3+4x\left(x^2-1\right)+8\) và \(g\left(x\right)=x^3+4x\left(bx+1\right)+c-3\)trong đó a , b , c là hằng số . Xác định a , b , c để \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)
a)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n-1}< 1\)
=>\(0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) không phải là số nguyên
mà n -1 là số nguyên
=> \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)không là số nguyên
Chứng minh với \(\forall n\in N\)* thì \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)^{ }}{2}\right]^2\)
\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)
Với \(n=1;n=2\) (*) đúng
Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)
Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có
\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm
Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : \(1^3+2^3+3^3+....+n^3\)
=\(\left(1+2+3+4+...+n\right)^2\)
=\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh với mọi n nguyên dương thì Sn= \(1^3\)+\(2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)
cái này đã đc những nhà toán học cm rồi trong phần quy nạp nâng cao và các chuyên đề toán 8 có ghi (mấy trang cuối)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh với mọi số nguyên dương n, n>=2 ta có :
\(\left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right)...\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}\)
Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)
Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{n!}< \left(2-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n}\right)...\left(2-\frac{2n-1}{n}\right)\)