VT = x^2 + 5x - ( x^2 - x -6)

= x^2 + 5x - x^2 + x +6

= 6x +6 = 6.(x+1) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên

Ta có n(n+5)-(n-3)(n+2)=n²+5n-(n²-3n+2n-6)

                                         =n²+5n-n²+3n-2n+6

                                        =6n+6

Tổng trên có hai hạng tử mà mỗi hạng tử đều chia hết cho 6 nên tổng chia hết cho 6

Vậy n(n+5)-(n-3)(n+2) luôn luôn chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên 

Ta có : n(n+5) - (n-3)(n+2) = n² + 5n - n² - 2n + 3n + 6

                                           = 6n + 6

                                           = 6(n+1) \(⋮\) 6 với mọi n

Vậy n(n+5) - (n-3)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2+3n+2n+6\)

\(=\left(n^2-n^2\right)-\left(5n-3n-2n\right)+6\)

\(=6⋮6\) (đpcm)

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)=n^2+5n-n^2-2n+3n-6\\ =6n-6=6\left(n-6\right)⋮6\)

=>đpcm

A = n3 – n (có nhân tử chung n)

= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

n – 1; n và n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên

+ Trong đó có ít nhất một số chẵn ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 2

+ Trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3 ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 3 nên A ⋮ 6.

Ta có: n(2n – 3) – 2n(n + 1) = 2 n 2  – 3n – 2 n 2  – 2n = - 5n

Vì -5 ⋮ 5 nên -5n ⋮ 5 với mọi n ∈ Z .

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(n-1,n,n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3

Mà (2,3)=1\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ba số trên là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ( Ví dụ : 1.2.3= 6 chia hết cho 6 )

\(\Rightarrow n^3-n⋮6\)

n^3 - n 

= n( n^2 - 1 )

Xét 2 trường hợp :

1 . n là số chẵn

ð  n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2

2 . n là số lẽ

=>  n^2 – 1 là số chẵn

=>  n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2

Vậy n^3 – n chia hết cho 2

Có n^3 – n = n( n^2 – 1 ) = n( n + 1 )( n – 1 )

Vì n , n + 1 và n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

=>  n^3 – n chia hết cho 3

Vì n^3 – n cùng chia hết cho cả 3 và 2

=>  n^3 – n chia hết cho 6

n/3 + n^2/2 + n^3/6

= 2n/6 + 3n^2/6 + n^3/6

= 2n + 3n^2 + n^3 / 6

= ( 2n + 2n^2 )  + ( n^2 + n^3 ) / 6 ( Tách 3n^2 = n^2 + 2n^2 )

= 2n( n + 1 ) + n^2( n + 1 ) / 6

= ( n + 1 )( 2n + n^2 ) / 6

= n( n + 1 )( n + 2 ) / 6

Vì n , n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

=>  n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 3

Trong 3 số nguyên liên tiếp luôn tồn lại 1 số chẵn

=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 2

Vì n( n + 1 )( n + 2 ) cùng chia hết cho 2 và 3

=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 6

=> n( n + 1 )( n + 2 ) = 6k ( k\(\in Z\))

Vậy n(n + 1 )( n + 2 )/6 = 6k/6 = k hay chúng luôn nguyên .

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2+n+6\)

\(=6n+6=6\left(n+1\right)⋮6\forall n\in Z\)

Ta có:

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)chia hết cho 5.

Vậy \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)chia hết cho 5.

Rút gọn được n 3 – n. Biến đổi thành Q = n(n – 1)(n + 1). Ba số nguyên liên tiếp trong đó sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3, vì Q ⋮ 6.