Giả sử AB ⊥ CD ta phải chứng minh:

Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:

Nếu A C 2   −   A D 2   =   B C 2   −   B D 2   =   k 2  thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho 

Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.

Nếu  A C 2   −   A D 2   =   B C 2   −   B D 2   = -   k 2  thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên  A C 2   −   A D 2   =   B C 2   −   B D 2   =   - k 2 .

Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi A B 2   +   C D 2   =   A C 2   +   B C 2 .

Giai giup bai nay

Kẻ 2 đường cao AE, BF

Gọi G là giao điểm 2 đường chéo

\(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\Rightarrow\Delta GCD\) cân tại G \(\Rightarrow GC=GD\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}=\widehat{BAC}\left(slt\right)\\\widehat{BDC}=\widehat{ABD}\left(slt\right)\\\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABD}\) \(\Rightarrow\Delta GAB\) cân tại G \(\Rightarrow GA=GB\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow AC=BD\Rightarrow ABCD\) là hình thang cân

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=EF\\DE=CF\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Pitago: \(\left\{{}\begin{matrix}BD^2=DF^2+BF^2\\BC^2=BF^2+CF^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BD^2-BC^2=DF^2-CF^2=\left(DF+CF\right)\left(DF-CF\right)=CD.EF=CD.AB\) (đpcm)

Chọn C

Theo đầu bài ta có: AC² + BD² = AD² + BC² nên AC² - AD² = BC² - BD²

Suy ra: 

Hay

Tương đương 

Ta có: \(AC^2+BD^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)^2\)

\(=AB^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+BC^2+BA^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\)

\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2\)