a) Gọi I là trung điểm BC

Lấy D đối xứng với G qua I => I là trung điểm GD

=> Tứ giác BGCD là hình bình hành

\(\Rightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\\ \Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}\\\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=0\\ \Rightarrow G\text{ là trung điểm }AD\\ \Rightarrow GI=\frac{1}{2}GD=\frac{1}{2}AG\\ \Rightarrow AG=2GI\\ \Rightarrow\frac{1}{2}AG+AG=AG+GI\\ \Rightarrow\frac{3}{2}AG=AI\\ \Rightarrow AG=\frac{2}{3}AI\)

=> G là trọng tâm \(\Delta ABC\)

\(\text{b) }\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\\ =3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\\ =3\overrightarrow{MG}+0=3\overrightarrow{MG}\)

Trả lời nhanh nhé các ní, yêu mấy ní đang .....

a: Xét ΔGAB có CK//AB

nên \(\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GK}{GA}\)

b: Xét ΔKAD và ΔKGC có

\(\widehat{KAD}=\widehat{KGC}\)(hai góc so le trong, AD//GC)

\(\widehat{AKD}=\widehat{GKC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAD đồng dạng với ΔKGC

=>\(\dfrac{KA}{KG}=\dfrac{AD}{GC}\)

=>\(\dfrac{KA}{AD}=\dfrac{KG}{GC}\)

=>\(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{GC}{GK}\)

mà \(\dfrac{GC}{GK}=\dfrac{GB}{GA}\)(GC/GB=GK/GA)

nên \(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{BG}{GA}\)

a:

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AB//CD

Ta có: AB//CD

K\(\in\)CD

Do đó: CK//AB

Xét ΔGAB có CK//AB

nên \(\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{GK}{GA}\)

b:

ta có: ABCD là hình bình hành

=>BC//AD

Ta có: BC//AD

C\(\in\)BG

Do đó: BG//AD

=>\(\widehat{BGA}=\widehat{DAG}\)(hai góc so le trong)

Xét ΔBGA và ΔDAK có

\(\widehat{BGA}=\widehat{DAK}\)

\(\widehat{GBA}=\widehat{ADK}\)(ABCD là hình bình hành)

Do đó: ΔBGA đồng dạng với ΔDAK

=>\(\dfrac{BG}{DA}=\dfrac{GA}{AK}\)

=>\(\dfrac{AD}{AK}=\dfrac{BG}{GA}\)

D là khẳng định sai

* cái này là công thức rồi bn o cần chứng minh đâu

công thức : cho tam giác ABC ; nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Gọi M trung điểm BC

       G đối xứng D qua M

=> tứ giác BGCD là hình bình hành

=> GD=2.GM (Hình bình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 

Mà AG = 2.GM ( \(\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{2}{1},GA=\dfrac{2}{3}AM\) )

⇒ AG=GD

Mặt khác, G ϵ AD 

⇒\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\)

Ta có \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\) (Quy tắc hình bình hành)

Nên \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\) = \(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}\)   

Mà \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\) (cmt)

⇒\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{O}\)

a: Xét ΔABC có

BN là đường trung tuyến 

AM là đường trung tuyến

BN cắt AM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>AG=2GM

mà AG=GG'

nên GG'=2GM

=>M là trung điểm của GG'

b: Xét tư sgiác BGCG' có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của GG'

Do đó: BGCG' là hình bình hành

Suy ra: CG=BG' và CG//BG'

mk bận đi ch nên chỉ tạm câu a nha 

vẽ 3 đường trung tuyến AD ; BE ; CF 

VT = 

\(GA+GB+GC\)   ( nhớ thêm dấu vec tơ nha ) 

\(=-\frac{2}{3}AD-\frac{2}{3}BE-\frac{2}{3}CF\)  

\(=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(AB+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(BA+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(CA+CB\right)\)     ( quy tắc hình bình hành ) 

\(=-\frac{1}{3}\left(AB+AC\right)-\frac{1}{3}\left(BA+BC\right)-\frac{1}{3}\left(CA+CB\right)\) 

\(=-\frac{1}{3}AB-\frac{1}{3}AC-\frac{1}{3}BA-\frac{1}{3}BC-\frac{1}{3}CA-\frac{1}{3}CB\)    

\(=0=VP\)

.... chua hoc

a.

E và F là trung điểm AB và CD nên: \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}\) ; \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DF}\)

G là trung điểm EF nên: \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AG}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DF}\)

\(=2\overrightarrow{AE}+2\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}\right)=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AF}=2\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)=4\overrightarrow{AG}\)

b.

\(\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

c.

Từ câu b ta có:

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)