\(\sqrt{1+2+3+..+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\)

\(=\sqrt{2\left[1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\right]-n}\)

\(=\sqrt{2.\left(n+1\right).n:2-n}\)

\(=\sqrt{n\left(n+1\right)-n}\)

\(=\sqrt{n^2+n-n}\)

\(=\sqrt{n^2}\)

\(=n\)

\(A=\sqrt[]{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+...+3+2+1}\)

Ta có :

\(1+2+3+...+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)+...+3+2+1=\left[\left(n-1\right)-1\right]+1\left(n-1+1\right):2\)

\(=\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}.2+n}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{\left(n-1\right)n+n}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{n^2-n+n}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{n^2}\)

\(\Rightarrow A=n\left(n>0\right)\)

\(\Rightarrow dpcm\)

mơn trí

Neu n la so chan thi n(n+3) chia het cho 2

Neu n la so le thi n+3 la so chan (vi le +le = chan)

                           => n(n+3) chia het cho 2

vay n(n+3) chia het cho 2 voi moi n la stn

Xét trường hợp n chẵn:

\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\left(1^2+3^2+5^2+...+\left(n-1\right)^2\right)+\left(2^2+4^2+6^2+...+n^2\right)\)

\(=\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)+n\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{6}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right).\left(n-1+n+2\right)}{6}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\)

Tương tự với trường hợp n lẻ . ta có \(\text{ĐPCM}\)

\(A=1^2+2^2+3^2+....+n^2\)

\(=1\left(2-1\right)+2\left(3-1\right)+3\left(4-1\right)+....+n\left[\left(n+1\right)-1\right]\)

\(=1.2-1+2.3-2+3.4-3+...+n\left(n+1\right)-n\)

\(=\left[1.2+2.3+3.4+....+n\left(n+1\right)\right]-\left(1+2+3+....+n\right)\)

Ta có :

\(1.2+2.3+3.4+....+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)(cái này tự CM nha)

\(1+2+3+....+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)(đpcm)

Cảm ơn 2 bạn nha

Tk mình đi mọi người mình bị âm nè!

Ai tk mình mình tk lại cho

Đặt \(n=4k+1\) thì \(P=\dfrac{\left(4k+1\right)\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)\left(4k+6\right)}{2}=8\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Dẫn đến \(Q=\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Lại có \(\left(2k+1,4k+1\right)=1;\left(2k+1,k+1\right)=1;\left(2k+1,2k+3\right)=1\) nên \(\left(2k+1,\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\right)=1\).

Do đó để Q là số lập phương thì \(2k+1\) và \(R=\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Mặt khác, ta có \(R=8k^3+22k^2+17k+3\) 

\(\Rightarrow8k^3+12k^2+6k+1=\left(2k+1\right)^3< R< 8k^3+24k^2+24k+8=\left(2k+2\right)^3\) nên \(R\) không thể là số lập phương.

Vậy...

lập phương hay chính phương thế bạn???

nếu là chính phương thì ntn nha 

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

đặt \(t=n^2+3n\left(t\in Z^+\right)\)

phương trình thành:
\(t\left(t+2\right)=t^2+2t\)

vì \(t^2< t^2+2t< t^2+2t+1\)

hay \(t^2< t^2+2t< \left(t+1\right)^2\)

=> \(t^2+2t\) không thể là số chính phương

=>\(n\left(n+2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) luôn luôn không thể là số chính phương

cô ơi, cô là người hay cô là chó vậy ạ ?, bài tập thầy con soạn bao nhiêu công sức cô ăn cắp như con chó không thèm ghi nguồn rồi đăng lên đây, thầy con đã nói rồi mà cô vẫn cố tình nhai đi nhai lại mấy tháng nay, bẩn không bằng con chó cô ạ, cô làm như vậy là báo hại đến học sinh bọn con thôi ạ, cô làm ơn bỏ cái trò đó đi ạ

Ta có : \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)

\(=n[\left(n^3-7n\right)^2-36]\)

\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)

\(=n[\left(n-3\right)\left(n^2+3n+2\right)][\left(n+3\right)\left(n^2-3n+2\right)]\)

\(=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)

là tích của 7 số nguyên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)⋮7\)

hay \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n⋮7\forall n\inℤ\)