x⁴-2x+2

= (x²)²-2x²+1+2x²-2x+1

=(x²-1)²+2(x²-x+1)

=(x²-1)²+2(x²-2.1/2x+1/4+1/4)

=(x²-1)²+2[(x-1/2)²+1/4]

vì (x²-1)² lớn hơn hoặc = 0 với mọi x và 2[(x-1/2)²+1/4] lớn hơn hoặc = 0 với mọi x 

nên (x²-1)²+2[(x-1/2)²+1/4] dương hay x⁴-2x+2 dương

ta có \(A=2x^2-2xy+\frac{y^2}{2}+\frac{y^2}{2}-4y+8+7\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-8y+18\right)\right]+7\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(2x-y\right)^2+\left(y-4\right)^2\right]+7\ge7\)

Vậy ta có A luôn dương

-a + a - 3 = -3

=>  luôn âm

\(E=x^2+2x+15=\left(x^2+2x+1\right)+14=\left(x+1\right)^2+14\ge14>0\forall x\)

E=(x²+2x+1)+14=(x+1)²+14

ta có (x+1)² >=0 với mọi x

suy ra E=(x²+2x+1)+14=(x+1)²+14 >0 với mọi biến x

ta có \(-a^2+a-3=-\left(a^2-\frac{2a.1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}-3\)

  = \(-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-2.75\)

vì \(-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\le0\)với mọi a 

nên biểu thức luôn âm

\(-a^2+a-3\)

\(=-\left(a^2-a+3\right)\)

\(=-\left(a^2-2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+3\right)\)

\(=-\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\right]\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}>0\)

\(\Rightarrow-\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\right]< 0\)

\(\Leftrightarrow-a^2+a-3< 0\)\(\left(đpcm\right)\)

\(a,P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-\left(x^2+x+9x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-x^2-x-9x-9\)

\(=\left(10x-x-9x\right)+\left(-5x^2-x^2\right)-9\)

\(=-6x^2-9\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2-9\le-9< 0\forall x\)

hay \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\).

\(b,Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\)

\(=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\)

\(=\left(3x^2+x^2\right)+\left(-4xy+4xy\right)+\left(-12x+12x\right)+1\)

\(=4x^2+1\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2+1\ge1>0\forall x\)

hay \(Q\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y\).

#\(Toru\)

a)\(A=x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

b) \(B=2x^2+2x+1=2\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\)

Lời giải:

a. $-x^2-2x-8=-7-(x^2+2x+1)=-7-(x+1)^2$
Vì $(x+1)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên

$-x^2-2x-8=-7-(x+1)^2\leq -7< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Vậy biểu thức luôn nhận giá trị âm với mọi $x$

b.

$-x^2-5x-11=-11+2,5^2-(x^2+5x+2,5^2)< -11+3^2-(x+2,5)^2$

$=-2-(x+2,5)^2\leq -2< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm)

c.

$-4x^2-4x-2=-1-(4x^2+4x+1)=-1-(2x+1)^2\leq -1< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm)

d.

$-9x^2+6x-7=-6-(9x^2-6x+1)=-6-(3x-1)^2\leq -6< 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (đpcm)

 Đề bài sai! bạn thay x= 2 vào xem âm ko.

tớ làm sao ko ra đc

mình ghi lộn đề nhé xin lỗi

-4x²-4x-2