HD

(n+1)^2-n^2=2n+1 với mọi n tự nhiên

Vì số đó là số lẻ nên có dạng 2k+1

Ta có: 2k+1 = 2k+1+k^2-k^2=(k+1)^2-k^2

=> Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng 2 số chính phương

a) Gọi n=2k+1(k \(\in\) N*)

\(\Rightarrow\)n= (k²+2k+1) - k² = (k+1)² - k² (1)

^Mà k \(\in\) N*\(\Rightarrow\) k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) k² và (k+1)² là 2 số chính phương liên tiếp (2)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow\) đpcm

b) Gọi n=2k+1(k \(\in\) N*)

\(\Rightarrow\) n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=4k(k+1)+1(1)

Lại có: k \(\in\) N* \(\Rightarrow\) k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) k(k+1) \(⋮2\)

\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)⋮8\) \(\Rightarrow\) 4k(k+1)+1 chia 8 dư 1(2)

Từ(1);(2)\(\Rightarrow\) n² chia 8 dư 1 với mọi n là số tự nhiên lẻ

Gọi hai số chính phương chẵn/lẻ liên tiếp là (2k)² và (2k + 2)²/(2h + 1)² và (2h + 3)². Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2k+2\right)^2-\left(2k\right)^2=\left(2k+2-2k\right)\left(2k+2+2k\right)=2\left(4k+2\right)=8k+4⋮4\\\left(2h+3\right)^2-\left(2h+1\right)^2=\left(2h+3-2h-1\right)\left(2h+3+2h+1\right)=2\left(4k+4\right)=8k+8⋮4\end{matrix}\right.\)

Vậy...

P/s: Bài làm có thể sai sót, mong mn thông cảm