\(\log_an.\log_bn+\log_bn.\log_cn+\log_cn.\log_an=\frac{\log n.\log n}{\log_a.\log_b}+\frac{\log n.\log n}{\log_b.\log_b}+\frac{\log n.\log n}{\log_c.\log_a}\)

                                                                  \(=\left(\log n\right)^2\frac{\log a+\log b+\log c}{\log a\log b\log c}\)

                                                                  \(=\frac{\log abc}{\log a\log b\log c}.\frac{\left(\log n\right)^3}{\log n}\)

                                                                  \(=\frac{\log_an\log_bn\log_cn}{\log_{abc}n}\)

=> Điều phải chứng minh

Ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{b - a}} + \frac{2}{{b - c}} = 2.\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{{b - a}} + \frac{1}{{b - c}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - c} \right) + \left( {b - a} \right)}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = \frac{1}{b}\\ \Leftrightarrow \frac{{b - c + b - {\rm{a}}}}{{{b^2} - ab - bc + ac}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{2b - c - {\rm{a}}}}{{{b^2} - ab - bc + ac}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow b\left( {2b - c - {\rm{a}}} \right) = {b^2} - ab - bc + ac\\ \Leftrightarrow 2{b^2} - bc - {\rm{ab}} = {b^2} - ab - bc + ac \Leftrightarrow {b^2} = {\rm{a}}c\end{array}\).

Vậy ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Theo giả thiết : 

\(\Leftrightarrow\log_xa+\log_zc=2\log_yb\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_cz}=\frac{2}{\log_by}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\log y_b}=\frac{2\log_ax.\log_cz}{\log_ax+\log_cz}\)

\(\Rightarrow\) Điều phải chứng minh

Đáp án đúng : C

Gọi công bội của cấp số nhân là q => b=a.q; c=a.q^2 

Gọi công sai của cấp số cộng là d => b=a+2d; c=a+8d

Ta có:  a.q=a+2d => \(q=\dfrac{a+2d}{a}=1+2\dfrac{d}{a}\)

           \(a.q^2=a+8d\Rightarrow q^2=\dfrac{a+8d}{a}=1+8\dfrac{d}{a}\)

Suy ra \(\left(1+2\dfrac{d}{a}\right)^2=1+8\dfrac{d}{a}\Rightarrow\dfrac{d}{a}=1\left(d\ne0\right)\)

=> b=a+2a=3a; c=a+8a=9a
Theo bài ra a+b+c=26 => a+3a+9a=13a=26 => a=2; b=6; c=18

Vậy ba số cần tìm là a=2; b=6; c=18

Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)

Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng

Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)

Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)

<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)

Do đó (1) trở thành :

\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh