Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .

- Thật vậy : \(\left|MA-MB\right|=\left|MA'-MB\right|=A'B\)

. Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : \(\left|M'A-M'B\right|=\left|M'A'-M'B\right|\le A'B\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng, nghĩa là M trùng với M’. 

Ta có \(\left|MA-MB\right|\ge0\) với một điểm M tùy ý và \(\left|MA-MB\right|=0\) chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì \(\left|MA-MB\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

Ta có `:|MA-MB|>=0` với `1` điểm `M` tuỳ ý và `|MA-MB|=0` chỉ với các điểm `M` mà `MA=MB` , tức là chỉ với các điểm `M` nằm trên đg trung trực đoạn thẳng `AB`

Mặt khác , `M in d` . Vậy `M ` là giao điểm của đg thẳng `d` và đg trung trực của đoạn thẳng `AB` . Có giao điểm này vì `AB` không vuông góc với `d` 

Tóm lại : Khi `M` là giao điểm của `d` và đg trung trực của `AB` thì `|MA-MB|` đạt giá trị nhỏ nhất và `=0` 

Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-duong-thang-d-va-hai-diem-a-b-nam-ve-mot-phia-cua-d-sao-cho-ab-khong-vuong-goc-voi-d-hay-tim-tren-d-mot-diem-m-sao-cho-leftma-mbright-co.157927030573

Ta có: \(\left|MA-MB\right|\ge0\) với một điểm M tùy ý.

\(\left|MA-MB\right|=0\) chỉ với điểm M mà MA = MB

=> M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. (Có giao điểm này vì AB không vuông góc với đường thẳng d)

Vậy, \(\left|MA-MB\right|\) đạt GTNN là 0 khi M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N.

Với điểm M bất kỳ thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB.

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác ta có:

|MA−MB| < AB

Khi M ≡ N thì

|MA−MB|= AB

Vậy |MA−MB| lớn nhất là bằng AB, khi đó M ≡ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.