1.

\(\left(C_1\right):\left(x-5\right)^2+y^2=25\Rightarrow\) Tâm \(I_1=\left(5;0\right);R_1=5\)

\(\left(C_2\right):\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25\Rightarrow\) Tâm \(I_2=\left(-2;1\right);R_2=5\)

2.

\(I_1I_2=\sqrt{\left(-2-5\right)^2+\left(1-0\right)^2}=5\sqrt{2}>R_1\)

\(\Rightarrow\) 2 đường tròn ngoài nhau

Vậy ta được \(M\left(-1;1\right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(C_1\)  và \(C_2\)

\(x^3-4mx+2=3x^2-4m\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-4m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-2x-4m-2=0\left(2\right)\)(\(\Delta'=4m+3\)

Số giao điểm của  \(C_1\)  và \(C_2\) bằng số nghiệm của phương trình (1). Do đó 

* \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m< -\frac{3}{4}:\left(2\right)\)vô nghiệm \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm duy nhất (x = 1)

                                                            \(\Rightarrow\)  \(C_1\)  và \(C_2\) có một giao điểm

* \(\Delta'=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}:\left(2\right)\)trở thành \(x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\), trong trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất (x = 1) \(\Rightarrow\) \(C_1\)  và \(C_2\) có một giao điểm

* \(\Delta'>0\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4}:\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt. Ta thấy \(t\left(1\right)=-4m-3\ne0\) với mọi \(m>-\frac{3}{4}\Rightarrow1\) không phải là nghiệm của (2) \(\Rightarrow\left(1\right)\) có 3 nghiệm phân biệt 

                                      \(\Rightarrow\) \(C_1\)  và \(C_2\) có ba giao điểm

Kết luận : 

- Với \(m\le-\frac{3}{4}\)  \(C_1\)  và \(C_2\) có một giao điểm

- Với \(m>-\frac{3}{4}\)  \(C_1\)  và \(C_2\) có 3 giao điểm

Ta có I(1;-1)⇒R=\(\sqrt{10}\)

Gọi tt có dạng là: Ax + By +c = 0

d(I;d)=\(\dfrac{\left|2-1+c\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=R\)⇒\(\left\{{}\begin{matrix}c=-1+5\sqrt{2}\\c=-1-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

cos45=\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)=\(\dfrac{\left|A2+B\right|}{\left(\sqrt{A^2+B^2}\right)\left(2^2+1\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(10\left(A^2+B^2\right)=4\left(2A+B\right)^2\)

⇒6\(A^2+16AB-6B^2\)=0

Chọn A=0⇒\(\left\{{}\begin{matrix}B=0\\B=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)pt tiếp tuyến : \(\dfrac{8}{3}y-1+5\sqrt{2}\) hoặc \(\dfrac{8}{3}-1-5\sqrt{2}\)

chọn B=0\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}A=0\\A=-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(-\dfrac{8}{3}y-1-5\sqrt{2}\) hoặc \(-\dfrac{8}{3}y-1+5\sqrt{2}\)

Sửa lại nha bạn

chọn A=1\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}B=3\\B=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)3y-1\(+5\sqrt{2}=0\) hoặc \(\dfrac{-1}{3}y-1-5\sqrt{2}=0\)