a/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\ne\left\{3;11\right\}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{x-2}=t\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{3}{t-1}\ge\frac{5}{t-3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{t-1}-\frac{5}{t-3}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3t-9-5t+5}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2t-4}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{t+2}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow1< t< 3\)

\(\Rightarrow1< \sqrt{x-2}< 3\)

\(\Leftrightarrow1< x-2< 9\Rightarrow3< x< 11\)

b/

ĐKXĐ: \(x\ge3\)

- Với \(x=3\) BPT thỏa mãn

- Với \(x>3\Rightarrow\sqrt{x-3}>0\) BPT tương đương

\(x-\frac{1}{2-x}\le0\Leftrightarrow x+\frac{1}{x-2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x-2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x-2}\le0\Rightarrow\) không tồn tại x thỏa mãn

Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=3\)

c/

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\4-x^2\ge0\\\sqrt{4-x^2}\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\-2\le x\le2\\x\ne\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le2\\x\ne\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

BPT tương đương:

\(\frac{2\left(\sqrt{x-1}-2\right)}{\sqrt{4-x^2}-1}+\sqrt{x-1}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(\frac{2}{\sqrt{4-x^2}-1}+1\right)\ge0\)

Do \(x\le2\Rightarrow\sqrt{x-1}\le1\Rightarrow\sqrt{x-1}-2< 0\)

BPt tương đương:

\(\frac{2}{\sqrt{4-x^2}-1}+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1+\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4-x^2}-1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x^2}-1< 0\) (do \(1+\sqrt{4-x^2}>0\) \(\forall x\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x^2}< 1\Leftrightarrow x^2>3\Rightarrow x>\sqrt{3}\)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là: \(\sqrt{3}< x\le2\)

ĐKXĐ: \(x\ge3\)

Khi đó \(\sqrt{2x-1}\ge\sqrt{5}>1\Rightarrow\sqrt{2x-1}-1>0\)

Đồng thời \(\sqrt{x+3}>\sqrt{x-3}\) \(\forall x\Rightarrow\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}>0\)

Do đó BPT tương đương:

\(\sqrt{x-3}\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}\right)\ge\sqrt{2x-1}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-9}-x+3\ge\sqrt{2x-1}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-9}\ge x-4+\sqrt{2x-1}\)

Do \(x-4+\sqrt{2x-1}\ge3-4+\sqrt{5}>0;\forall x\ge3\) nên BPT tương đương:

\(x^2-9\ge x^2-8x+16+2x-1+2\left(x-4\right)\sqrt{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\sqrt{2x-1}-3\left(x-4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(\sqrt{2x-1}-3\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(\frac{2x-1-9}{\sqrt{2x-1}+3}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-5\right)\le0\Leftrightarrow4\le x\le5\)

x-3 ; mình đánh thiếu

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{4}\)

\(\sqrt{5x+1}\le3\sqrt{x}+\sqrt{4x-1}\)

\(\Leftrightarrow5x+1\le9x+4x-1+6\sqrt{4x^2-x}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{4x^2-x}\ge1-4x\)

Do \(x\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-4x\le0\\\sqrt{4x^2-x}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) BPT luôn đúng

Vậy nghiệm của BPT là \(x\ge\frac{1}{4}\)

b/ ĐKXĐ: \(x\ge4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2-16\right)}+x-3>7-x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2-16\right)}>10-2x\)

- Với \(x>5\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(x\le5\) bình phương 2 vế:

\(2\left(x^2-16\right)>4\left(x-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-20x+66< 0\)

\(\Rightarrow10-\sqrt{34}< x< 10+\sqrt{34}\)

Vậy nghiệm của BPT là \(x>10-\sqrt{34}\)

Là sao hả Cường Phan Quốc

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\-\frac{4}{\sqrt{3}}\le x\le\frac{4}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

- Với \(x< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT< 0\\VP\ge0\end{matrix}\right.\) BPT vô nghiệm

- Với \(0< x\le\frac{4}{\sqrt{3}}\) hai vế đều dương, bình phương:

\(\frac{4}{x^2}+\frac{1}{4}-\frac{2}{x}>\frac{4}{x^2}-\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x}< 1\Rightarrow x>2\)

Vậy nghiệm của BPT là \(2< x\le\frac{4}{\sqrt{3}}\)

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

Khi đó ta có \(x^2-x+1\ge3\Rightarrow1-2\sqrt{x^2-x+1}< 0\)

Do đó BPT tương đương:

\(\sqrt{2\left(x^2+7x+3\right)}-\sqrt{x^2+x-6}-3\sqrt{x+1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+14x+6}\le\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+14x+6\le x^2+10x+3+6\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2+x-6\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+3\le6\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+3\right)\le6\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\le6\sqrt{x-2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+3\right)\le36\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-32x+75\le0\)

\(\Rightarrow16-\sqrt{181}\le x\le16+\sqrt{181}\)