\(n^4+7\left(7+2n^2\right)\)

\(=n^4+14n^2+49\)

\(=\left(n^2\right)^2+2.7.n^2+7^2\)

\(=\left(n^2+7\right)^2\)

Vì n là số nguyên nẻ nên n có dạng 2k + 1 với k là số nguyên

\(\Rightarrow\left(n^2+7\right)^2=\left[\left(2k+1\right)^2+7\right]^2\)

\(=\left[\left(4k^2+4k+1\right)+7\right]^2\)

\(=\left[4k\left(k+1\right)+8\right]^2\)

Ta thấy \(\hept{\begin{cases}k\left(k+1\right)⋮2\forall k\in Z\\4⋮4\end{cases}}\) nên \(4k\left(k+1\right)⋮8\forall k\in Z\)

\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)+8⋮8\forall k\in Z\)

\(\Rightarrow\left[4k\left(k+1\right)+8\right]^2⋮8^2\forall k\in Z\)

\(\Rightarrow\left[4k\left(k+1\right)+8\right]^2⋮64\forall k\in Z\)

Hay \(n^4+7\left(7+2n^2\right)⋮64\forall n\)là số nguyên lae (đpcm)

Phương pháp phản chứng:

Giả sử n⁴ + 7.( 7 + 4n³) ⋮ 64 ∀ n \(\in\) { n=2k +1/k \(\in\) N}

theo giả sử ta có với n = 1 thì    1⁴ + 7.( 7 + 4.1³) ⋮ 64 

⇔ 1 + 7. 11 ⋮ 64   ⇔ 78 ⋮ 64 ⇔ 64+ 14 ⋮ 64 ⇔ 14 ⋮ 64 ( vô lý)

Vậy n⁴ + 7.( 7 + 4n³) ⋮ 64 ∀ n lẻ là không thể xảy ra.

Lỡ có sai sót thì thông cảm giúp mình nha:3

Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)

\(n^4-n^2-9\left(n^2-1\right)=n.n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3

\(\Rightarrow A⋮3\)

Lại có: \(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Do n lẻ, đặt \(n=2k+1\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 8

\(\Rightarrow A⋮\left(16.8\right)\Rightarrow A⋮128\)

Mà 3 và 128 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(128.3\right)\Rightarrow A⋮384\)

\(a,A=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+10\left(x-2y\right)+25+\left(y^2-2y+1\right)+2\\ A=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+5+\left(y-1\right)^2+2\\ A=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y-5\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(b,\Leftrightarrow3x^3+10x^2-5+n=\left(3x+1\right)\cdot a\left(x\right)\)

Thay \(x=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(-\dfrac{1}{27}\right)+10\cdot\dfrac{1}{9}-5+n=0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{9}+\dfrac{10}{9}-5+n=0\\ \Leftrightarrow-4+n=0\Leftrightarrow n=4\)

\(c,\Leftrightarrow2n^2-4n+5n-10+3⋮n-2\\ \Leftrightarrow2n\left(n-2\right)+5\left(n-2\right)+3⋮n-2\\ \Leftrightarrow n-2\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{-1;1;3;5\right\}\)