\(\overrightarrow{MN}=\left(1;-3\right)\Rightarrow MN=\sqrt{10}\)

Đặt \(AB=a\)

Qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và CD lần lượt tại P và Q, gọi F là trung điểm CD \(\Rightarrow MF\) song song và bằng BC

Theo Talet: \(\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow PN=\dfrac{3a}{4}\) ; \(DQ=AP=\dfrac{3a}{4}\) ; \(MP=NQ=\dfrac{a}{4}\)

\(\Rightarrow MN^2=10=MP^2+PN^2=\dfrac{a^2}{16}+\dfrac{9a^2}{16}\Rightarrow a=4\)

\(\Rightarrow MF=4\) ; \(NQ=FQ=\dfrac{a}{4}\Rightarrow FN=\sqrt{NQ^2+FQ^2}=a\sqrt{2}\) ; 

Đặt \(F\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MF}=\left(x-1;y-2\right)\\\overrightarrow{NF}=\left(x-2;y+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=MF^2=16\\\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=FN^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}F\left(1;-2\right)\\F\left(\dfrac{17}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MF}=\left(0;-4\right)=-4\left(0;1\right)\\\overrightarrow{MF}=\left(\dfrac{12}{5};-\dfrac{16}{5}\right)=\dfrac{4}{5}\left(3;-4\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình CD:

\(\left[{}\begin{matrix}0\left(x-1\right)+1\left(y+2\right)=0\\3\left(x-\dfrac{17}{5}\right)-4\left(y+\dfrac{6}{5}\right)=0\end{matrix}\right.\)

Tham khảo:

Đề thi đại học môn Toán khối A năm 2014

tham khảo

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua AC. Ta có M' thuộc đường thẳng BC.

Phương trình đường thẳng MM' là 1(x - 6) - 1(y - 2) = 0 <=> x - y - 4 = 0. Gọi H = AC ∩ MM'

Tọa độ của H thỏa mãn hệ   =>  H(7; 3)

H là trung điểm của MM'. Suy ra M'(8; 4)

Gọi = (a; b) . Vì hai đường thẳng AB và AC tạo với nhau một góc 450 nên ta có:

cos 450 =  = |a + b| ⇔ ab = 0

TH1: a = 0, phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là y = 8, x = 8. Suy ra: B(8; 8)

TH2: b = 0, phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là y = 5, x = 4. Suy ra: B(5; 4)

Câu này đề Hà Tĩnh 2016 - 2017.

Tham khảo:

Đáp án và đề thi HSG toán 10 sở GD&ĐT Hà Tĩnh 2016-2017

Talet: \(\dfrac{KM}{AK}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow KM=\dfrac{1}{3}AK\Rightarrow KM=\dfrac{1}{4}AM\Rightarrow\overrightarrow{KM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AM}\) 

Mà \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{KM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{12}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{KN}=\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{4}AB^2-\dfrac{1}{4}AD^2=0\)

\(\Rightarrow AM\perp KN\Rightarrow\) đường thẳng KN nhận (10;1) là 1 vtpt

Phương trình NK:

\(10\left(x-0\right)+1\left(y-2019\right)=0\Leftrightarrow10x+y-2019=0\)

\(d\left(O;NK\right)=\dfrac{\left|-2019\right|}{\sqrt{10^2+1^2}}=\dfrac{2019}{\sqrt{101}}\)

a) + Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có:

N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy:

+ Trong mặt phẳng (SAC) : SO và AM cắt nhau.

+ trong mp(MAB) : MA và BN cắt nhau

+ trong mp(SBD) : SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.