\(1,HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{256}{9}\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{\left(\dfrac{256}{9}+9\right)9}=\sqrt{337}\\ 2,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\ 3,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=9\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=5,4\\ 4,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{9\left(6+9\right)}=3\sqrt{15}\\ 5,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3\sqrt{7}\left(cm\right)\\ 6,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\left(12+8\right)}=4\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Bài 1: (bạn tự vẽ hình vì hình cũng dễ)

Ta có: AB = AH + BH = 1 + 4 = 5 (cm)

Vì tam giác ABC cân tại B => BA = BC => BC = 5 (cm)

Xét tam giác BCH vuông tại H có:

  \(HB^2+CH^2=BC^2\left(pytago\right)\)

  \(4^2+CH^2=5^2\)

  \(16+CH^2=25\)

\(\Rightarrow CH^2=25-16=9\)

\(\Rightarrow CH=\sqrt{9}=3\left(cm\right)\)

Tới đây xét tiếp pytago với tam giác ACH là ra AC nhé

Bài 2: Sử dụng pytago với tam giác ABH => AH

Sử dụng pytago với ACH => AC

a, HB = 1,8cm; CH = 3,2cm; AH = 2,4cm; AC = 4cm

b, AB = 65cm; AC = 156cm; BC = 169cm; BH = 25cm

c, AB = 5cm; BC = 13cm; BH = 25/13cm; CH = 144/13cm

a) Các hệ thức giữa cạnh và đường cao AH:

\(AH^2=BH.CH\)

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.BC\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(AH.BC=AB.AC\)

b) Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đg cao AH:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\)

\(BC=CH+BH\)

\(\Rightarrow CH=BC-BH=10-3,6=6,4\left(cm\right)\)

(Tự vẽ hình)

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)

\(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta CAB\) (g.g)

b) Áp dụng định lý Pytago có:

\(BC^2=AB^2+AC^2=8^2+6^2=100\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

Do \(\Delta AHB\sim\Delta CAB\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\\\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

c) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\) (cùng phụ \(\widehat{BAH}\))

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta CHA\) (g.g) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{CH}{AH}\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆HBA có:

∠B chung

⇒ ∆ABC ∽ ∆HBA (g-g)

b) ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)

= 6² + 8²

= 100

⇒ BC = 10

Do ∆ABC ∽ ∆HBA (cmt)

⇒ AC/AH = BC/AB

⇒ AH = AB.AC/BC

= 6.8/10

= 4,8 (cm)

∆ABH vuông tại H

⇒ AB² = AH² + BH² (Pytago)

⇒ BH² = AB² - AH²

= 6² - (4,8)²

= 12,96

⇒ BH = 3,6 (cm)

a) Ta có:

- Góc A của tam giác ABC là góc vuông, nên ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng AH bằng cách sử dụng định lí Pythagoras: AH = sqrt(AB^2 + AC^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = 10.

- Góc A của tam giác ABC cũng là góc giữa đường cao AH và cạnh huyền BC, nên ta có thể tính được tỉ số giữa độ dài đoạn thẳng AH và độ dài cạnh huyền BC: AH/BC = AC/AB = 8/6 = 4/3.

- Từ tỉ số này, ta có thể suy ra rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA (vì cả hai tam giác có cùng một góc và tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau).

b) Để tính độ dài các cạnh BC, AH, BH, ta có thể sử dụng các công thức sau:

- Độ dài cạnh BC: BC = AB/AC * AH = 6/8 * 10 = 15/2 = 7.5.

- Độ dài đoạn thẳng BH: BH = sqrt(AH^2 - AB^2) = sqrt(10^2 - 6^2) = 8.

- Độ dài đoạn thẳng AH đã được tính ở trên: AH = 10.

Vậy độ dài các cạnh BC, AH, BH lần lượt là 7.5cm, 10cm, 8cm.

Bài 1:

Áp dụng HTL trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=3,6$ (cm)

$CH=BC-BH=10-3,6=6,4$ (cm)

Tiếp tục áp dụng HTL: 

$AH^2=BH.CH=3,6.6,4$

$\Rightarrow AH=4,8$ (cm)

$AC^2=CH.BC=6,4.10=64$

$\Rightarrow AC=8$ (cm)

Bài 2:

Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=2$ (cm)

$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}.1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cm)

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$ (cm)

$CH=BC-BH=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ (cm)

3. 

$BC=BH+CH=16a+9a=25a$

Áp dụng HTL trong tam giác vuông:

$AH^2=BH.CH=16a.9a=(12a)^2$

$\Rightarrow AH=12a$ (do $a>0$)

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{(16a)^2+(12a)^2}=20a$

$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{(9a)^2+(12a)^2}=15a$