a:ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2+6^2=10^2\)

=>\(AH^2+36=100\)

=>\(AH^2=64\)

=>AH=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BC\cdot6=10^2=100\)

=>\(BC=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

c: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(HM\cdot AB=HA\cdot HB\)

=>\(HM\cdot10=6\cdot8=48\)

=>HM=48/10=4,8(cm)

Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM\cdot10=8^2=64\)

=>AM=6,4(cm)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{AMHN}=HM\cdot AM=4,8\cdot6,4=30,72\left(cm^2\right)\) và \(C_{AMHN}=\left(HM+AM\right)\cdot2=\left(4,8+6,4\right)\cdot2=22,4\left(cm\right)\)

d: Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(AB=BC\cdot sinC\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AB=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot sinC\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

hay \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(BH^2=BM\cdot BA\)

hay \(BM=\dfrac{BH^2}{BA}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(CH^2=CN\cdot CA\)

hay \(CN=\dfrac{CH^2}{CA}\)

Ta có: \(BM\cdot CN\cdot AH\)

\(=\dfrac{BH^2\cdot CH^2}{AB\cdot AC}\cdot\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)

\(=BC^3\)

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

+ AH² =BH.CH

=>CH=\(\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{12^2}{9}=16\left(cm\right)\)

=>BC=BH+CH=9+16=25(cm)

+ AB²=BH.BC

=>AB=\(\sqrt{BH.BC}=\sqrt{9.25}=15\left(cm\right)\)

+AC²=CH.BC

=>AC=\(\sqrt{CH.BC}=\sqrt{16.25}=20\left(cm\right)\)

a, S_{tam giác ABC}=\(\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{15.20}{2}=150\left(cm^2\right)\)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao 

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

ý b cm đồng dạng , suy ra cặp tỷ lệ thức là cm được.

Hình vẽ chung cho cả ba bài.

Bài 1:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{15^2}+\frac{1}{20^2}=\frac{1}{144}\)

\(\Rightarrow AH^2=144\Rightarrow AH=12\)

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\)

\(CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=9+16=25\)

Bài 2,3 bạn nhìn hình vẽ và sử dụng hệ thức lượng để tính tiếp như bài 1.

Bài 2:                                                    Bài giải

Đặt BH = x (0 < x < 25) (cm) => CH = 25 - x (cm)

Ta có : \(AH^2=BH\cdot CH\text{ }\Rightarrow\text{ }x\left(25-x\right)=144\text{ }\Rightarrow\text{ }x^2-25x+144=0\)

\(\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\text{ }\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=16\end{cases}}\left(tm\right)\)

Nếu BH = 9 cm thì CH = 16 cm \(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

Nếu BH = 16 cm thì CH = 9 cm

\(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

bạn cho mình hỏi tại sao AH² =BH.HC??

a, \(\Delta ABC,\hat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)(định lý Py-ta-go)

\(\Leftrightarrow10^2=6^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=64\)

\(\Leftrightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\) ta có:

\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow6^2=BH.10\Leftrightarrow BH=3,6\left(cm\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{25}{576}\)\(\Leftrightarrow AH^2=\frac{576}{25}\Leftrightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC: 6 + 10 + 8 = 24 (cm)

Diện tích tam giác ABC: \(\frac{4,8.10}{2}=24\left(cm^2\right)\)

2 câu kia mình nghĩ sau

Mình tạm làm câu c trước, câu b mình chưa nghĩ ra

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta AHB, \hat{AHB}=90°, HM \perp AB\) và \(\Delta AHC, \hat{AHC}=90°, HN \perp AC\) ta có:

\(AH^2=AM.AB\) (1)

\(AH^2= AN.AC\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\)AM.AB = AN.AC

c) Ta có: