Đặt biểu thức trung gian là :

\(B=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1}\) thì \(A< B\)

Còn \(B=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Vậy \(A< 3< \frac{3}{4}< 1.\)

Cách 2. Gọi biểu thức trên là A.Ta làm trội:

\(\frac{1}{x^2}\left(x\ge2\right)=\frac{1}{x.x}< \frac{1}{\left(x-1\right).x}\). Khi đó, áp dụng vào,ta có:

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=1-\frac{1}{n}< 1\forall n\ge2^{\left(đpcm\right)}\)

vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé

1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Do đó : 

\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)

2.

Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó : 

\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)

3.

Nhận xét ; \(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Do đó : \(B=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}...\frac{\left(n-1\right)n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)

Rút gọn được : B = \(\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}>\frac{1}{3}\)

Tôi cũng là của FC Real Madrid ở Hà Nam.

Chúng mình kết bạn nhé.hihi.

Lời giải:

Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{n^3}\)

\((n-1)(n+1)=n^2-1< n^2\)

\(\Rightarrow (n-1)n(n+1)< n^3\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(n-1)n(n+1)}>\frac{1}{n^3}\)

Thay $n=2,3,4,.....$. Khi đó ta có:

\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\underbrace{ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}}_{A}(*)\)

Mà:

\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+....+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\)

\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}(**)\)

Từ \((*) ;(**)\Rightarrow \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)

Ta có đpcm.

Ta có A>1

\(A< 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+....+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)

\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=2-\frac{1}{n}< 2\)

=> 1<A<2 => A không là số tự nhiên

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).

b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).

Bài 2: tương tự 1b.

Bài 3:

Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT:

\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )