Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Thu Hằng

Bài 1 : Cmr :

a, \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\) với mọi a>1

b, \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) với mọi a \(\in R\)

Bài 2 : Cho a>0. Cmr \(\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2\)

Bài 3 : Cho a,b,c>0. Cmr \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\)

Trần Thanh Phương
2 tháng 9 2019 lúc 8:34

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).

b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).

Bài 2: tương tự 1b.

Trần Thanh Phương
2 tháng 9 2019 lúc 8:39

Bài 3:

Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT:

\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Phương Oanh
Xem chi tiết
trung le quang
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Oanh
Xem chi tiết
Sakura
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Sakura
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
trung le quang
Xem chi tiết
trung le quang
Xem chi tiết