Need some helps!
1. Cho a, b, c > 0 tm a + b + c = 1. Tìm gtln của bt sau:
\(P=\sqrt{a+2b+3c}+\sqrt{b+2c+3a}+\sqrt{c+2a+3b}.\)
2. Cho x, y > 1 tm x + y = 3. Tìm gtnn của bt sau:
\(P=\frac{x}{x-1}.\frac{y}{y-1}\)
Need some helps!
1. Cho x, y, z > 0 tm \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) CMR:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
2. Cho a, b, c > 0 tm a + b + c = 1. Tìm GTNN của bt sau
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
1 cho các số thực a,b tn \(a^2+ab+b^2=3\)
tìm GTNN,GTLN của \(M=a^4-ab+b^4\)
2 cho các số dương a,b,c tm \(a+b+c=2019\) tìm GTNN \(M=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\)
3cho các số thực tm \(x+y+z\le1\)tìm GTNN \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2020}{xy+yz+xz}\)
4cho các số \(a,b,c>\frac{25}{4}\) tìm GTNN \(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
5cho x,y>0 tm \(x+y=4\) tìm GTNN \(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
e nhầm đoạn này r
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\) rồi cộng lại thì
\(M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\cdot2019\) ạ
Chắc lần này sẽ không nhầm nhưng hướng là thế ạ.
Bài 5 cần gì dùng Mincopxki chi cho mệt nhỉ?
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left[2^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)
Do đó: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{2x+\frac{1}{2x}}{\sqrt{2^2+\frac{1}{2^2}}}=\frac{4x+\frac{1}{x}}{\sqrt{17}}\)
Tương tự rồi cộng lại rồi dùng Cauchy-Schwarz
1, cho a,b,c >0 , chứng minh rằng
(-a+b+c)/2a + (a-b+c)/2b + (a+b-c)/2c >hoặc = 3/2
2. cho x,y,z >0 , tìm GTNN của biểu thức sau :
P= x/(y+z)+ y/(z+x) + z/(x+y)
a) Cho x;y dương thỏa mãn xy=1. Tìm GTNN: D= x2+3x+y2+3y+\(\frac{9}{x^2+y^2+1}\)
b) Với \(1\le x\le\frac{4\sqrt{3}}{3}\)Tìm GTLN của y=\(8\sqrt{x-1}+x\sqrt{16-3x^2}\)
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
b
\(8\sqrt{x-1}=4.2.\sqrt{x-1}.1\le4.\left(x-1+1\right)=4x\)
\(x.\sqrt{16-3x^2}\le\frac{x^2+16-3x^2}{2}=8-x^2\)
\(\Rightarrow y\le4x-x^2+8=-\left(x-2\right)^2+12\le12\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\)
Cho a>=0, b>=0, c>=0, a+b+c=1
Tìm GTLN của M=\(\sqrt{2a^2+3a+4}+\sqrt{2b^2+3b+4}+\sqrt{2c^2+3c+4}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+3a+4}=\sqrt{a^2+a^2+3a+4}\le\sqrt{a^2+a+3a+4}=a+2\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow M\le a+2+b+2+c+2=7\)
\(M_{max}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Cho a, b, c dương. Chứng minh: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}+\frac{ac}{\sqrt{5abc(3b+2c)}}+\frac{ab}{\sqrt{5abc(3c+2a)}}\geq \frac{3}{5}(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(5abc(3a+2b)=5ab.(3ac+2bc)\leq \left(\frac{5ab+3ac+2bc}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \frac{2bc}{5ab+3ac+2bc}=\frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta suy ra:
\(\sum \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}(1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:
\(\sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\geq 2.\frac{(bc+ab+ac)^2}{2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)}\)
\(=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+2abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{5}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra $(*)$ đúng. BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Rút gọn bt:
Câu 1: a, \(\left(\sqrt{50}+\sqrt{48}-\sqrt{72}\right)2\sqrt{3}\)
b, \(\sqrt{25a}+2\sqrt{45a}-3\sqrt{80a}+2\sqrt{16a}\left(a\ge0\right)\)ư
Câu 2: Cho bt: P =\(\left(1+\frac{\sqrt{a}}{a+1}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1}\right)\)
a, Tìm ĐKXĐ . Rút gọn P
B, Tìm x nguyên để P có gt nguyên
c, Tìm GTNN của P với a >1
Câu 3: Gỉai các pt
a, \(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=4\)
b, \(\sqrt{4x+4}+\sqrt{9x+9}-8\sqrt{\frac{x+1}{16}}=5\)
Câu 3:
a: =>|2x-1|=4
=>2x-1=4 hoặc 2x-1=-4
=>x=-3/2 hoặc x=5/2
b: \(\Leftrightarrow2\sqrt{x+1}+3\sqrt{x+1}-2\sqrt{x+1}=5\)
=>3căn x+1=5
=>x+1=25/9
=>x=16/9
Rút gọn bt:
Câu 1: a, \(\left(\sqrt{50}+\sqrt{48}-\sqrt{72}\right)2\sqrt{3}\)
b, \(\sqrt{25a}+2\sqrt{45a}-3\sqrt{80a}+2\sqrt{16a}\left(a\ge0\right)\)ư
Câu 2: Cho bt: P =\(\left(1+\frac{\sqrt{a}}{a+1}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1}\right)\)
a, Tìm ĐKXĐ . Rút gọn P
B, Tìm x nguyên để P có gt nguyên
c, Tìm GTNN của P với a >1
Câu 3: Giair các pt
a, \(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=4\)
b, \(\sqrt{4x+4}+\sqrt{9x+9}-8\sqrt{\frac{x+1}{16}}=5\)
\(a,\left(\sqrt{50}+\sqrt{48}-\sqrt{72}\right)2\sqrt{3}\)
\(=\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\right)2\sqrt{3}\)
\(=\left(4\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)2\sqrt{3}\)
\(=24-2\sqrt{6}\)
giúp tớ bài này nha mn . làm 1 trong 2 bài cx đc. cả thì càng tốt
1. cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a+b+c = 2016
Tìm GTNN của P = \(\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2c-1}{2017+c}\)
2. cho x,y > 0 . CMR : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
1.
Ta có: \(\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2ac-1}{2017+c}\)
\(=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}2015+a=x\\2016+b=y\\2017+c=z\end{cases}}\)
\(P=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
\(=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}\left(Cosi\right)\)
Dấu "=" <=> x=y=z => \(\hept{\begin{cases}a=673\\b=672\\c=671\end{cases}}\)
Vậy Min P=6 khi a=673; b=672; c=671
Câu 1 thử cộng 3 vào P xem
Rồi áp dụng BDT Cauchy - Schwars : a^2/x + b^2/y + c^2/z ≥(a + b + c)^2/(x + y + z)