a - b = 4 ; b - c = -2                    (1)

=> a - b + b - c = 4 - 2 

=> a - c = 2                     (2)

(1) => a - b - b + c = 4 + 2 

=> a - 2b + c = 6                   (3)

\(T=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}{a^2-c^2-2ab+2bc}\)

\(2T=\frac{2a^2+2b^2-2ab-2bc-2ac}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)-2b\left(a-c\right)}\)

\(2T=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a-c\right)\left(a+c-2b\right)}\)   và (1)(2)(3)

\(\Rightarrow2T=\frac{4^2+\left(-2\right)^2+2^2}{2\cdot6}=2\)

\(\Rightarrow T=1\)

https://h.vn/hoi-dap/question/21757.html

bn vào link này là có nhé

Ta có: a² + c² = b² + d²

( a² + c² ) - ( b² + d² ) = 0

( a² + 2ac + c² ) - ( b² + 2bd + d² ) = 2ac - 2bd

( a + c )² - ( b + d )² = 2( ac - bd )

a + c \(\equiv\) b + d ( mod 2 )

a + c + b + d \(⋮\) 2

Mà a + c + b + d > 2

Vậy a + b + c + d là hợp số

Ta có:

a² + c² = b² + d²

\(\Rightarrow\) (a + c)² - 2ac = (b + d)² - 2bd

\(\Rightarrow\) (a + c)² - (b + d)² = 2ac - 2bd

\(\Rightarrow\) [(a + c) - (b + d)][(a + c) + (b + d)] = 2(ac - bd)

 Do đó [(a + c) - (b + d)][(a + c) + (b + d)] \(⋮\) 2. Mà (a + c) - (b + d) và (a + c) + (b + d) cùng thuộc tính chẵn lẻ nên hai số đó đều chia hết cho 2 \(\Rightarrow\) a + b + c + d \(⋮\) 2 \(\Rightarrow\) a + b + c + d là hợp số (vì nó lớn hơn 2).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b+c=7\\ab+bc+ca=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c=7-a\\a.\left(b+c\right)+bc=15\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b+c=7-a\\4.a.\left(b+c\right)+4.b.c=60\end{cases}\left(1\right)}}\)

Với hai số thực b,c ta luôn có : \(\left(b+c\right)^2-4.b.c=\left(b-c\right)^2\ge0\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4.b.c\Leftrightarrow4.b.c\le\left(b+c\right)^2\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2) ,ta được : \(60=4.a.\left(b+c\right)+4.b.c\le4.a.\left(7-a\right)+\left(b+c\right)^2=4.a.\left(7-a\right)+\left(7-a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3.a^2-14.a+11\le0\left(a-1\right).\left(3.a-11\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le a\le\frac{11}{3}\)(đpcm) 

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(A=\sum \frac{2a}{b^2+2}=\sum (a-\frac{ab^2}{b^2+2})=\sum a-\sum \frac{ab^2}{b^2+2}\)

\(=6-\sum \frac{ab^2}{b^2+2}=6-\sum \frac{ab^2}{\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}+2}\)

\(\geq 6-\sum \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{\frac{b^4}{2}}}=6-\frac{1}{3}\sum \sqrt[3]{2a^3b^2}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sum \sqrt[3]{2a^3b^2}\leq \sum \frac{2a+ab+ab}{3}=\frac{12+2(ab+bc+ac)}{3}=4+\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)

\(\leq 4+\frac{2}{3}.\frac{(a+b+c)^2}{3}=12\)

Do đó: $A\geq 6-\frac{1}{3}.12=2$

Vậy $A_{\min}=2$ khi $a=b=c=2$

Xin lỗi lúc này do thày nhìn nhầm nên nghĩ câu 2 sai đề. Để đền bù thiệt hại, xin giải lại cả hai bài cho em

Cả hai bài toán này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Em xem link dưới đây để biết rõ hơn: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html

Câu 1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ab}=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)+\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}}=\frac{9abc}{2abc\left(a+b+c\right)+\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

\(=\frac{9abc}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{9abc}{9}=abc.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 2.  Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz

\(\frac{8}{2a+b}=\frac{4}{a+\frac{b}{2}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{b}{2}}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}.\)

Tương tự, \(\frac{48}{3b+2c}=\frac{16}{b+\frac{2c}{3}}\le4\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\frac{2c}{3}}\right)=\frac{4}{b}+\frac{6}{c},\) và \(\frac{12}{c+3a}=\frac{4}{\frac{c}{3}+a}\le\frac{1}{\frac{c}{3}}+\frac{1}{a}=\frac{3}{c}+\frac{1}{a}.\)

Cộng ba bất đẳng thức lại ta được

\(\frac{8}{2a+b}+\frac{48}{3b+2c}+\frac{12}{c+3a}\le\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)+\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}+\frac{6}{b}+\frac{9}{c}.\)    (ĐPCM).

\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c};c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (1)

Ta lại có : \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (ĐPCM)