\(a,b,\) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AN=BN\\AM=CM\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ABC\Rightarrow MN//BC;MN=\dfrac{1}{2}BC\left(1\right)\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}BE=EG\\CG=GF\end{matrix}\right.\Rightarrow EF\) là đtb \(\Delta BGC\Rightarrow EF//BC;EF=\dfrac{1}{2}BC\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow EF=MN;EF//MN\)

\(c,d,\) Cmtt câu a,b, ta được \(NE,MF\) lần lượt là đtb \(\Delta AGB;\Delta AGC\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NE=\dfrac{1}{2}AG;NE//AG\\MF=\dfrac{1}{2}AG;MF//AG\end{matrix}\right.\Rightarrow NE=MF;NE//MF\)

a: Xét ΔMEN và ΔMFP co

ME=MF

góc M chung

MN=NP

=>ΔMEN=ΔMFP

=>EN=FP

b: Xét ΔFNP và ΔEPN có

FN=EP

NP chung

FP=EN

=>ΔFNP=ΔEPN

=>góc ONP=góc OPN

=>ON=OP

Xét ΔMON và ΔMOP có

MO chung

ON=OP

MN=MP

=>ΔMON=ΔMOP

=>góc NMO=góc PMO

=>MO là phân giác của góc NMP

Ta có BE và AD là 2 đường trung tuyến=>G là trực tâm 

=>BG=\(\dfrac{2}{3}\)BE=\(\dfrac{2}{3}\).9cm =6 cm

và GD= \(\dfrac{1}{2}\)AG=\(\dfrac{1}{2}\).8cm =4cm

KL

xét ΔABC có AD và BE là đường trung tuyến 

mà AD và BE giao ở G => G là trọng tâm của ΔABC

=> BG=2/3.BE => BG =2/3.9=6 cm

=> DG=1/2AG=1/2.8=4 cm

a) Xét ΔABC ta có:

AN = NB

AM = MC

Suy ra MN là đường trung bình của Δ ABC

Nên MN song song với BC và MN=1/2 BC (1)

Xét Δ BIC ta có

IE = EB

IF = FC

Suy ra EF là đường trung bình của Δ BIC

Nên EF song song với BC và EF=1/2 BC(2)

Từ (1) và(2) suy ra EF =MN và EF song song với MN

Vậy MNEF là hình bình hành

Phần vẽ hình và ghi giả thuyết ,kết luận bạn tự làm nhé :)

a) Xét tam giác ABC ,ta có :

      AN = NB (GT)

     AM = MC (GT)

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN // BC (1) , MN = 1/2 BC (2)

Xét tam giác BCI ,ta có :

     BE = EI (GT)

     CI  = IF (GT)

Nên EF là đường trung bình của tam giác BIC

=> EF // BC (3) , EF = 1/2 BC (4)

Từ (1) và (3) => MN // EF (5)

Từ (2) và (4) => MN = EF (6)

Từ (5) và (6) => MNEF là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết 3 )

b) Xét tứ giác EFHK ,ta có :

         EF // HK (Vì H,K € BC ; mà BC// EF )

         EH // FK (Vì H € NE ,K € MF ,mà NE // MF)

Do đó ,tứ giác EFKH là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết 1)

=>  EF = HK (7)

mà EF = 1/2 BC [theo (4)] (8)

Từ (7) và (8) => HK = 1/2 BC

Câu c) tớ chưa nghĩ ra cách chứng minh

Cậu hãy tự suy nghĩ , chúc bạn may mắn

a, Xét tam giác ABC có G là trọng tâm 

=> \(PG=\frac{1}{3}PC\) ( t/c trọng tâm tam giác )

Xét tam giác ABG có GP và AF là các trung tuyến 

Mà GP cắt AF tại I nên I là trọng tâm 

=> \(PI=\frac{1}{3}PG=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}PC=\frac{1}{9}PC\) ( đpcm )

b, Ta có : G là trọng tâm nên AG=2GM mà GM=GE => AG=GE

BG=2GN mà GF=1/2 BG nên GF=GN 

Xét tứ giác AFEN có : AG=GE và GF=GN 

=> AFEN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

=> NE//AF và NE=AF