Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{EFB}+\widehat{ECB}=180^0\)

mà \(\widehat{EFB}+\widehat{MFB}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{MFB}=\widehat{MCE}\)

Xét ΔMFB và ΔMCE có

\(\widehat{MFB}=\widehat{MCE}\)

\(\widehat{M}\) chung

Do đó: ΔMFB~ΔMCE
=>\(\dfrac{MF}{MC}=\dfrac{MB}{ME}\)

=>\(MF\cdot ME=MB\cdot MC\)

Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ACK=90\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AKC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADB=\angle ACK=90\\\angle AKC=\angle ABD\left(ABKCnt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AKC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AK}{AC}\Rightarrow AB.AC=AK.AD\)

xét tam giác ABC nội tiếp (O) có 

góc ABC=góc AKC(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

có AD là đường cao=>góc ADB=90 độ(1)

lại có AO cắt (O) tại K=>AK là đường kính (O)

=>tam giác AKC nội tiếp (O)=> góc ACK=90 độ(2)

từ(1)(2)=>góc ADB=góc ACK(=90 độ)(3)

lại có góc ABC=góc AKC(cmt) hay góc ABD=góc AKC(4)

từ(3)(4)=> tam giác ABD đồng dạng tam giác AKC(g.g)

=>\(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}=>AB.AC=AD.AK\left(dpcm\right)\)

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

b; góc ABD=1/2*180=90 độ

=>BD vuông góc AB

=>BD//CH

góc ACD=1/2*180=90 độ

=>CD vuông góc AC

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

=>BHCD là hbh

=>BC cắt HDtại trung điểm của mỗi đường

=>H,M,D thẳng hàng

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB\cdot AF=AC\cdot AE\)(đpcm)

b)Sửa đề: \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)

Xét tứ giác BDEA có 

\(\widehat{BEA}=\widehat{BDA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BEA}\) và \(\widehat{BDA}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BA

Do đó: BDEA là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc cùng nhìn cạnh BD)

a, Xét tam giác AEB và tam giác AFC ta có : 

^AEB = ^AFC = 90⁰

^A chung 

Vậy tam giác AEB ~ tam giác AFC (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC và ΔAEF có

\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔAEF(c-g-c)

Xét ΔHDB VÀ ΔHEA, có:

\(\widehat{BHD}\) = \(\widehat{EHA}\)( đối đỉnh)

\(\widehat{BDH}\) = \(\widehat{HEA}\) = 90°( giả thiết )

Do đó ΔHDB ∞ ΔHEA

➜ \(\dfrac {HD}{HE}\) = \(\dfrac{HB}{HA}\) ➜ HA . HD = HB . HE