Biểu thức trên = (4+4^2+4^3)+(4^4+4^5+4^6)+....+(4^2014+4^2015+4^2016)

= 4.(1+4+4^2)+4^4.(1+4+4^2)+....+4^2014.(1+4+4^2)

= 4.21+4^4.21+....+4^2014.21

= 21.(4+4^4+....+4^2014) chia hết cho 21

=> ĐPCM

k mk nha

= (4+4²+2³)+...+(4²⁰¹⁴+4²⁰¹⁵+4²⁰¹⁶) 

= 4(1+4+16)+...+4²⁰¹⁴(1+4+16) 

= 4.21+...+4²⁰¹⁴.21 

= 21(4+...+4²⁰¹⁴) chia hết cho 21

a/ Ta có

\(200-\left(3+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+...+\frac{2}{100}\right)\)

\(=1+2\left(1-\frac{1}{3}\right)+2\left(1-\frac{1}{4}\right)+...+2\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

\(=1+2\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}\right)\)

Thế lại bài toán ta được:

\(\frac{200-\left(3+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+...+\frac{2}{100}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}}\)

\(=\frac{2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}}=2\)

b/ Ta có: 

A - B\(=\frac{-21}{10^{2016}}+\frac{12}{10^{2016}}+\frac{21}{10^{2017}}-\frac{12}{10^{2017}}\)

\(=\frac{9}{10^{2017}}-\frac{9}{10^{2016}}< 0\)

Vậy A < B

cảm ơn bạn

gips mk với ai làm nhanh nhất mk sẽ k

a, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}\Rightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{\left(a-c\right)^4}{\left(b-d\right)^4}\) (1)

\(\frac{a^4}{b^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{5a^4}{5b^4}=\frac{7c^4}{7d^4}=\frac{5a^4+7c^4}{5b^4+7d^4}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm

b, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2c}{2d}=\frac{a+2c}{b+2d}\) (3)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3c}{3d}=\frac{a-3c}{b-3d}\) (4)

Từ (3) và (4) => đpcm

c, làm giống câu a

a) ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+2c}{b+2d}\left(1\right)\)

            \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-3c}{b-3d}\left(2\right)\)

(1) và (2) => \(\frac{a+2c}{b+2d}=\frac{a-3c}{b-3d}\)

Tương tự \(\left(\frac{a}{b}\right)^4=\left(\frac{c}{d}\right)^4=\left(\frac{a-c}{b-d}\right)^4\left(1\right)\)

               \(\left(\frac{a}{b}\right)^4=\left(\frac{c}{d}\right)^4=\frac{5a^4+7c^4}{5b^4+7d^4}\left(2\right)\)

=> \(\left(\frac{a-c}{b-d}\right)^4=\frac{5a^4+7c^4}{5b^4+7d^4}\)

\(A=1-\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}\right)^3+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2016}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2017}\\ \Rightarrow\dfrac{3}{4}A=\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3}{4}\right)^3-\left(\dfrac{3}{4}\right)^3+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2017}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2018}\\ \Rightarrow\dfrac{7}{4}A=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2018}\notin Z\\ \Rightarrow A\notin Z\)

Lời giải:

BĐT cần cm tương đương với:
$2(a^4+b^4+c^4)\geq ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a$

$\Leftrightarrow (a^4+b^4-a^3b-ab^3)+(b^4+c^4-b^3c-bc^3)+(c^4+a^4-ca^3-c^3a)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)+(b-c)^2(b^2+bc+c^2)+(c-a)^2(c^2+ca+a^2)\geq 0$

Điều này luôn đúng do:

$(a-b)^2\geq 0; a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{R}$ và tương tự với 2 đa thức còn lại)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ 

Do bđt đối xứng nên ta giả sử: \(a\ge b\ge c\)

Áp dụng Chebyshev cho hai dãy đơn điệu tăng (a;b;c) và(a^3;b^3;c^3):

\(a^4+b^4+c^4=a.a^3+b.b^3+c.^3\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)