a) Ta có :

 \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA\)

\(S_{ADE}=\dfrac{1}{2}AD.AE.sinA\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\dfrac{AB.AC}{AD.AE}=\dfrac{48.64}{32.24}=4\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=4S_{ADE}\)

b) Xét \(\Delta ABC\) ta có :

\(p=\left(AB+AC+BC\right):2=\left(48+36+64\right):2=74\left(cm\right)\)

Theo công thức Heron :

\(S_{ABC}=\sqrt[]{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt[]{74\left(74-48\right)\left(74-64\right)\left(74-36\right)}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt[]{74.26.10.38}=4\sqrt[]{5.13.19.37}=4\sqrt[]{45695}\left(cm^2\right)\)

\(\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{S_{ABC}}{4}=\dfrac{4\sqrt[]{45695}}{4}=\sqrt[]{45695}\left(cm^2\right)\)

 Xét \(\Delta ADE\) ta có :

Đặt \(DE=x\left(x>0\right)\)

\(p=\dfrac{\left(AD+AE+x\right)}{2}=\dfrac{\left(32+24+x\right)}{2}=\dfrac{56+x}{2}=28+\dfrac{x}{2}\left(cm\right)\)

\(S_{ADE}=\sqrt[]{p\left(p-AD\right)\left(p-AE\right)\left(p-DE\right)}\)

\(\Rightarrow S_{ADE}=\sqrt[]{\left(28+\dfrac{x}{2}\right)\left(28+\dfrac{x}{2}-32\right)\left(28+\dfrac{x}{2}-24\right)\left(28+\dfrac{x}{2}-x\right)}\)

\(\Rightarrow S_{ADE}=\sqrt[]{\left(28+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{x}{2}-4\right)\left(\dfrac{x}{2}+4\right)\left(28-\dfrac{x}{2}\right)}\)

\(\Rightarrow S^2_{ADE}=\left(28+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{x}{2}-4\right)\left(\dfrac{x}{2}+4\right)\left(28-\dfrac{x}{2}\right)\)

\(\Rightarrow45695=\left(28+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{x}{2}-4\right)\left(\dfrac{x}{2}+4\right)\left(28-\dfrac{x}{2}\right)\)

\(\Rightarrow5.13.19.37=\left(28+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{x}{2}-4\right)\left(\dfrac{x}{2}+4\right)\left(28-\dfrac{x}{2}\right)\left(1\right)\)

Ta thấy khi \(x=18\) thì vế phải có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}-4=5\\\dfrac{x}{2}+4=13\\28-\dfrac{x}{2}=19\\28+\dfrac{x}{2}=37\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=18\) pt (1) thỏa

Vậy \(DE=18\left(cm\right)\)

Bài 1: 

a) Xét ΔABC có

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{5}=\dfrac{12}{CD}\)

hay CD=10(cm)

Ta có: BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)

nên BC=10+5=15(cm)

Vậy: DC=10cm; BC=15cm

a: BC=căn 5^2+12^2=13cm

AD là phân giác

=>BD/AB=CD/AC

=>BD/5=CD/12=(BD+CD)/(5+12)=13/17

=>BD=65/17cm; CD=156/17cm

b: Xét ΔCED vuông tại E và ΔCAB vuông tại A có

góc C chung

=>ΔCED đồng dạng với ΔCAB

1: Xét tứ giác ABDE có

DE//AB

góc EAB=90 độ

=>ABDE là hình thang vuông

XétΔCED vuông tại E và ΔCAB vuông tại A có

góc C chung

=>ΔCED đồng dạng với ΔCAB

2: AC=căn 15^2-9^2=12cm

S ABC=1/2*AB*AC=1/2*12*9=54cm²

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/CD=AB/AC=3/4

=>CD/BD=4/3

=>CD/BC=4/7

ΔCED đồng dạng với ΔCAB

=>ED/AB=CD/CB=4/7

=>ED=9*4/7=36/7cm

3: Gọi giao của CM với ED làI

Xét ΔCAM có EI//AM

nên EI/AM=CI/CM

Xét ΔCMB có ID//MB

nên ID/MB=CI/CM

=>EI/AM=ID/MB

mà AM=MB

nên EI=ID

=>I là trung điểm của ED

a: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-62^0=118^0\)

=>\(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=59^0\)

hay \(\widehat{BIC}=121^0\)

b: Xét ΔABC có

BD là phân giác

CE là phân giác

BD cắt CE tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp

=>AI là tia phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAI}=31^0\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2+12^2=20^2\)

=>\(AC^2=400-144=256\)

=>\(AC=\sqrt{256}=16\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC

=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)

=>AH=9,6(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{12^2}{20}=7,2\left(cm\right)\\CH=\dfrac{16^2}{20}=12,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: XétΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\widehat{C}\simeq37^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{B}=90^0-37^0=53^0\)

c: \(AB\cdot cosB+AC\cdot cosC\)

\(=AB\cdot\dfrac{AB}{BC}+AC\cdot\dfrac{AC}{BC}\)

\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC}=\dfrac{BC^2}{BC}=BC\)

a: AB=12cm

Xét ΔABC có AC<AB

nên \(\widehat{ABC}< \widehat{ACB}\)

b: Xét ΔABC vuông tại A vàΔABD vuông tại A có

AB chung

AC=AD
DO đó: ΔABC=ΔABD

c: Xét ΔBDC có 

AB là đường trung tuyến

DK là đường trung tuyến

BA cắt DK tại G

Do đó: G là trọng tâm

=>BG=2GA