a) Thay m=1 vào phương trình, ta được:

\(x^4-4x^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-5x^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+1\right)-5\left(x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-5\right)=0\)

mà \(x^2+1>0\forall x\)

nên \(x^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=5\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{5};-\sqrt{5}\right\}\)

Vậy: Khi m=1 thì tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left\{\sqrt{5};-\sqrt{5}\right\}\)

HD : 
Thay nghiệm x = (√5 - √3)/(√5 + √3) = 4 - √15 vào pt khai triển và thu gọn ta có: 
31p + 4q + 1 = (8p + q).√15 (*) 
Vì p, q hữu tỉ nên VT của (*) hữu tỉ còn VP vô tỉ. 
Do đó muốn (*) nghiệm đúng thì ta phải có đồng thời: 
{ 31p + 4q + 1 = 0 
{ 8p + q = 0 
Dễ dàng giải hệ này có p = 1; q = - 8 
=> p + q = - 7 

a) Thay \(a=0\) vào phương trình, ta được:

 \(x^2-2x-3=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b) Ta có: \(\Delta'=4-3a\) 

Để phương trình có 2 nghiệm x₁ và x₂ \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\) \(\Leftrightarrow a\le\dfrac{4}{3}\)

 Vậy ...

c) Phương trình có nghiệm bằng -1 

\(\Rightarrow1+2\left(1-a\right)+a^2+a-3=0\) 

\(\Leftrightarrow a^2-a=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=0\end{matrix}\right.\)

Vậy ... 

pt: \(x^2+2\left(a-1\right)x+a^2+a-3=0\) (1)

a) khi a=0 pt(1) \(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)

b) \(\Delta'=b'^2-ac=\left(a-1\right)^2-\left(a^2+a-3\right)=-3a+4\)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta'>0\Leftrightarrow-3a+4>0\Leftrightarrow a< \dfrac{4}{3}\)

c) pt(1) có nghiệm x=-1 \(\Leftrightarrow\left(-1\right)^2+2\left(a-1\right).\left(-1\right)+a^2+a-3=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-a=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

a) Đặt \(x^3=a\) thì pt trở thành:

\(a^2+2003a-2005=0\)

\(\Leftrightarrow (a+\frac{2003}{2})^2=2005+\frac{2003^2}{2^2}=\frac{4020029}{4}\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+\frac{2003}{2}=\sqrt{\frac{4020029}{4}}\\ a+\frac{2003}{2}=-\sqrt{\frac{4020029}{4}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{4020029}{4}}-\frac{2003}{2}\approx 1\\ a=-\sqrt{\frac{4020029}{4}}-\frac{2003}{2}\approx -2004\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\sqrt[3]{a}\approx 1\\ x=\sqrt[3]{a}\approx \sqrt[3]{-2004}\end{matrix}\right.\)

b)

Đặt \(x^2=a(a\geq 0)\)

PT trở thành: \(\sqrt{2}a^2-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})a+\sqrt{12}=0\)

\(\Delta'=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-\sqrt{2}.\sqrt{12}=5\)

Theo công thức nghiệm của pt bậc 2 thì pt có 2 nghiệm:

\(\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ a_2=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

Do đó \(x=\pm \sqrt{a}\in\left\{\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}};\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\right\}\)

Câu 2:

Đặt \(x^2=a\). PT ban đầu trở thành:

\(a^2+a+m=0(*)\)

\(\bullet \)Để pt ban đầu có 3 nghiệm pb thì $(*)$ phải có một nghiệm $a=0$ và một nghiệm $a>0$

Để $a=0$ là nghiệm của $(*)$ thì \(0^2+0+m=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó: \((*)\Leftrightarrow a^2+a=0\). Ta thấy nghiệm còn lại là $a=-1< 0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ để pt ban đầu có 3 nghiệm pb.

\(\bullet\) Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Mà theo định lý Viete, nếu $(*)$ có 2 nghiệm pb $a_1,a_2$ thì:\(a_1+a_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm không thể đồng thời cùng dương.

Vậy không tồn tại $m$ để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.

a.67 b có ko chắc

Delta .........

Viet........

\(t_1=\frac{x_1}{x_2};\text{ }t_2=\frac{x_2}{x_1}\)

\(t_1+t_2=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{\left(-p\right)^2-2q}{q}\)

\(t_1.t_2=1\)

Do đó t₁; t₂ là 2 nghiệm của pt \(t^2-\frac{p^2-2q}{q}t+1=0\)

a: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m-1)(m+4)(m+3)<0

=>m<-4 hoặc -3<m<1

b:Để phương trình có ít nhất 1 nghiệm thì 

(m-1)(m+4)(m+3)<0 hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}m< >-3\\\left(m-1\right)^2-4\left(m+3\right)\left(m-1\right)\left(m+4\right)< 0\\\dfrac{-m+1}{m+3}< 0;\dfrac{\left(m-1\right)\left(m+4\right)}{\left(m+3\right)}>0\end{matrix}\right.\)

=>(m<-4 hoặc -3<m<1) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}m< >-3\\\left(m-1\right)\left(m-1-4m^2-28m-48\right)< 0\\\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\-4< m< -3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>(m<-4 hoặc -3<m<1) hoặc (m>1 hoặc m<-3)

\(x^2-2mx+3m-2=0\)

Thay m = -1 vào PT ta được:

\(x^2-2\left(-1\right)x+3\left(-1\right)-2=0\)

\(\Rightarrow x^2+2x-5=0\)

\(\Delta'=b'^2-ac=1^2-1.\left(-5\right)=6>0\)

Do \(\Delta'>0\Rightarrow\)PT có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=-1+\sqrt{6}\)

\(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=-1-\sqrt{6}\)