Cho bốn số a,b,c khác 0 và thỏa mãn : b2 = ac ; c2 = bd ; b3 + c3 + d3 \(\ne\)0
Chứng minh rằng : \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
cho ba số a,b,c khác 0 và thỏa mãn ac = b2: ab = c2
hãy tính: M= a2017/ b20218c2019
Cho 4 số a,b,c,d khác 0 thỏa mãn b2=ac và c2=bd
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{c^3+b^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\)
\(b^2=ac\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c};c^2=bd\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\\ \Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\\ \Rightarrow\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{c^3+b^3+d^3}\left(1\right)\\ \text{Đặt }\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=k\\ \Rightarrow a=bk;b=ck;c=dk\\ \Rightarrow a=bk=ck^2=dk^3\\ \Rightarrow\dfrac{a}{d}=k^3\\ \text{Mà }\dfrac{a}{b}=k\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^3}=k^3\\ \Rightarrow\dfrac{a}{d}=\dfrac{a^3}{b^3}\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)
Cho bốn số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn b^2= ac, c^2= bd và a^3+ 27b^3+ 8c^3 khác 0. Chứng minh rằng a/d= \(\frac{a^3+27b^3+8c^3}{b^3+27c^3+8d^3}\)
1.Cho a,b,c là các số khác 0 thỏa mãn b2=ac.CMR:\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{c}\)
b^2=ac
=>b/a=c/b=k
=>b=ak; c=bk=ak*k=ak^2
\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a^2+a^2k^2}{a^2k^2+a^2k^4}=\dfrac{1}{k^2}\)
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{ak^2}=\dfrac{1}{k^2}\)
=>\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{c}\)
cho a,b,c,d là các số tự nhiên thỏa mãn : đôi 1 khác nhau và a2+d2=b2+c2=t.
chứng minh ab+cd và ac+bd không thể đồng thời là số nguyên tố
Lời giải:
Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$
$=(ad+bc)t$
Mà:
$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$
Tương tự: $t> ac+bd$
Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:
$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$
Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý
Do đó ta có đpcm.
Cho 4 số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số
Ta có : a2 + b2 = c2 + d2
⇒a2 + b2 + c2 + d2 = 2 ( a2 + b2 ) ⋮2 nên là hợp số
Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 - ( a + b + c + d )
= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) ⋮2
⇒a + b + c + d ⋮2 nên cũng là hợp số
Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) là chẵn
Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)
Mà tích 2 số TN liên tiếp là chẵn
⇒ Tổng a+b+c+d là chẵn
Vì \(a+b+c+d>2\) với mọi số TN a,b,c,d khác 0
⇒ a+b+c+d là hợp số
Cho a, b, c là bốn số khác nhau và khác 0 thỏa mãn: b2 = ac ; c2 = bd và b3 + c3 + d3 khác 0
Chứng minh: a3 + b3 + c3 / b3 + c3 + d3 = a / d
Ta có: (a3+b3+c3)/ (b3+c3+d3) = a3/b3 = b3/c3 = c3/d3 (1)
mà b2 = ac ; c2 = bd
=> b3/c3 = bac/cbd = a/d (2)
Từ (1) & (2) => (a3+b3+c3)/ (b3+c3+d3) = a/d
Ta có: (a3+b3+c3)/ (b3+c3+d3) = a3/b3 = b3/c3 = c3/d3 (1)
mà b2 = ac ; c2 = bd
=> b3/c3 = bac/cbd = a/d (2)
Từ (1) & (2) => (a3+b3+c3)/ (b3+c3+d3) = a/d
cho bốn số a,b,c,d khác 0 thỏa mãn: a+b=c+d và a^2+b^2=c^2+d^2.Chứng minh rằng: a=c hoặc a=d
: Cho a,b,c thuộc R và a,b,c khác 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
a/c=(a+2012b)^2/(b+2012c)2
Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: ab/a+b=bc/b+c=ca/c+a ( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) và a+b=c=1 tính giá trị của biểu thức A=abc(a2+b2+c2)/ab+bc+ca
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1+1+1}{a+b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)