a) Thay x=1 và y=-2 vào (P), ta được:

\(a\cdot1^2-4\cdot1+c=-2\)

\(\Leftrightarrow a-4+c=-2\)

hay a+c=-2+4=2

Thay x=2 và y=3 vào (P), ta được:

\(a\cdot2^2-4\cdot2+c=3\)

\(\Leftrightarrow4a-8+c=3\)

hay 4a+c=11

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=2\\4a+c=11\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3a=-9\\a+c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\c=2-a=2-3=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: (P): \(y=3x^2-4x-1\)

a) Do parabol qua điểm O nên ta có thể giả sử phương trình của Parabol có dạng : y = ax² \(\left(a\ne0\right)\)

Parabol qua điểm \(M\left(\sqrt{3};3\right)\) nên ta thấy ngay \(3=a\left(\sqrt{3}\right)^3\Rightarrow a=1\)

Vậy phương trình parabol là \(y=x^2\)

Ta có bảng giá trị: 

b) Vì \(K\left(\sqrt{2};4\right)\) thuộc parabol (P) nên \(4=a\left(\sqrt{2}\right)^2\Leftrightarrow a=2\)

Vậy phương trình parabol cần tìm là: \(y=2x^2\)

Bảng giá trị:

a) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm B(2; 4) nên:

\(a{.2^2} + 2b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4a + 2b = 3\)

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = \frac{5}{2};b = \frac{{ - 7}}{2}\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\)

b) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có trục đối xứng x=1

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\)

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = 1;b =  - 2\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 2x + 1\)

c) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\)

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1\)

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a =  - 1;b = 2\)

=> Hàm số cần tìm là \(y =  - {x^2} + 2x + 1\)

d)  Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm C(-1; 1) nên:

\(a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có tung độ đỉnh là -0,25 nên:

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow  - \frac{{{b^2} - 4.a.1}}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = a \Leftrightarrow {b^2} = 5a\)

Thay a=b ta có:

\({b^2} = 5b \Leftrightarrow b=0\) hoặc \(b=5\)

Vì \(a \ne 0\) nên \(a=b=5\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = 5{x^2} + 5x + 1\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm A(8; 0) nên:

\(a{.8^2} + b.8 + c = 0 \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh là I(6;-12):

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow  - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0\)

\(a{.6^2} + 6b + c =  - 12 \Leftrightarrow 36a + 6b + c =  - 12\)

Từ 3 phương trình trên ta có: \(a = 3;b =  - 36,c = 96\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = 3{x^2} - 36x + 96\)

Parabol qua A(4;-3) và đỉnh I(1;5) ta có : 

-3 = 16a - 4b + c

5 = a - b + c

\(-\dfrac{\left(-b\right)}{2a}=1\Leftrightarrow b-2a=0\) 

Giải hệ trên ta có  : \(a=-\dfrac{8}{9};b=-\dfrac{16}{9};c=\dfrac{37}{9}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2}=2\\4-2b+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4\\c=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(P\right):y=x^2-4x-15\)

a) Vẽ lại hình vẽ như dưới đây

Ta có \(AB = 18,x = 3 \Rightarrow A(3;9)\)

Gọi phương trình parabol tổng quát \({y^2} = 2px\)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có: \({9^2} = 2p.3 \Rightarrow p = \frac{{27}}{2}\)

Vậy phương trình parabol trên hệ trục tọa độ vừa chọn là \({y^2} = 27x\)

b) Từ câu a) ta có: \(p = \frac{{27}}{2}\)

Suy ra tiêu điểm của parabol là \(F\left( {\frac{{27}}{4};0} \right)\)

Vậy để đèn chiếu được xa phải đặt bóng đèn cách đỉnh của chóa đèn \(\frac{{27}}{4}\) xentimét