đường thẳng y = ax+ b song song với đường thằng y = -x+ 5

=> a = -1 ; b khác 5

=> đường thẳng có dạng y = -x + b

gọi A là giao của đg thẳng y = -x + b và parabol
=> x_A = 1 => y_A = x_A² = 1 

A(1; 1) thuộc đg thẳng y = -x + b => y_A = - x_A + b =>b = 2 (thoả mãn)

a) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm B(2; 4) nên:

\(a{.2^2} + 2b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4a + 2b = 3\)

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = \frac{5}{2};b = \frac{{ - 7}}{2}\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\)

b) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên:

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có trục đối xứng x=1

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\)

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = 1;b =  - 2\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 2x + 1\)

c) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên:

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\)

\(a{.1^2} + b.1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1\)

Từ 2 phương trình trên, ta có \(a =  - 1;b = 2\)

=> Hàm số cần tìm là \(y =  - {x^2} + 2x + 1\)

d)  Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm C(-1; 1) nên:

\(a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có tung độ đỉnh là -0,25 nên:

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow  - \frac{{{b^2} - 4.a.1}}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = a \Leftrightarrow {b^2} = 5a\)

Thay a=b ta có:

\({b^2} = 5b \Leftrightarrow b=0\) hoặc \(b=5\)

Vì \(a \ne 0\) nên \(a=b=5\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = 5{x^2} + 5x + 1\)

\(a,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9a+3b=-6\\\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=-2\\3a=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{3}\\b=-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left(P\right):y=-\dfrac{1}{3}x^2-x+2\\ b,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b=-3\\-\dfrac{b}{2a}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b=-3\\4a-b=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{4}\\b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(P\right):y=-\dfrac{1}{4}x^2-x+2\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm A(8; 0) nên:

\(a{.8^2} + b.8 + c = 0 \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\)

Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh là I(6;-12):

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 6 \Leftrightarrow  - b = 12a \Leftrightarrow 12a + b = 0\)

\(a{.6^2} + 6b + c =  - 12 \Leftrightarrow 36a + 6b + c =  - 12\)

Từ 3 phương trình trên ta có: \(a = 3;b =  - 36,c = 96\)

=> Hàm số cần tìm là \(y = 3{x^2} - 36x + 96\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=-2\\4a-2b+c=4\\c=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a-2.4a+6=4\\c=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a=2\\a=\dfrac{1}{2}\\c=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+6\)

b.

\(y_{min}=y_{CT}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4.1.1-\left(-4\right)^2}{4.1}=-3\)