Câu 1: điều kiện là hàm f(x) liên tục và khả vi trên [1;6]

\(\int\limits^6_1f\left(x\right)dx=\int\limits^2_1f\left(x\right)dx+\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=4+12=16\)

Câu 2:

Không tính được tích phân kia, tích phân \(\int\limits^3_1f\left(3x\right)dx\) thì còn tính được

Câu a: Tích phân không thể tính được

Câu b:

Đặt \(\sqrt{x}=t\). Khi đó:

\(\int ^{\pi ^2}_{0}x\sin \sqrt{x}dx=\int ^{\pi}_{0}t^2\sin td(t^2)\) \(=2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt\)

Tính \(\int t^3\sin tdt\) bằng nguyên hàm từng phần:

\(\Rightarrow \int t^3\sin tdt=\int t^3d(-\cos t)=-t^3\cos t+\int \cos t d(t^3)\)

\(=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)

\(=-t^3\cos t+3\int t^2d(\sin t)=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-\int \sin td(t^2))\)

\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int t\sin tdt)\)

\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int td(-cos t))\)

\(=-t^3\cos t+3[t^2\sin t-2(-t\cos t+\int \cos tdt)]\)

\(=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)

\(\Rightarrow 2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt=2(-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c)\left|\begin{matrix} \pi\\ 0\end{matrix}\right.\)

\(=2\pi ^3-12\pi \)

Lời giải:
Đặt \(2x+1=t\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}\)

Khi đó:

\(\int ^{\frac{1}{9}}_{0}\frac{x}{\sin ^2(2x+1)}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{11}{9}}_{0}\frac{t-1}{\sin ^2t}d(\frac{t-1}{2})=\frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt\)

Xét \(\int \frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\int \frac{t}{\sin ^2t}dt-\int \frac{dt}{\sin ^2t}=\int td(-\cot t)-(-\cot t)+c\)

\(=(-t\cot t+\int \cot tdt)+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\int \frac{\cos t}{\sin t}dt+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\int \frac{d(\sin t)}{\sin t}+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c\)

\(\Rightarrow \frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\frac{1}{4}(-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c)\left|\begin{matrix} \frac{11}{9}\\ 1\end{matrix}\right.\)

\(\approx 0,007\)

\(I_1=\int\limits^2_0f\left(2x\right)dx\)

Đặt \(2x=t\Rightarrow dx=\frac{dt}{2}\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\int\limits^4_0f\left(t\right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}.2018=1009\)

\(I_2=\int\limits^2_{-2}f\left(2-x\right)dx\)

Đặt \(2-x=t\Rightarrow dx=-dt\); \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\Rightarrow t=4\\x=2\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_2=\int\limits^0_4f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=2018\)

\(\Rightarrow I=I_1+I_2=1009+2018=3027\)

a/ \(I=\int sinxdx-\frac{1}{2}\int e^{2x}d\left(2x\right)=-cosx-\frac{1}{2}e^{2x}+C\)

b/ Ko rõ đề

c/ Không rõ đề

d/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinx.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C\)

Đặt \(y=f\left(x\right)\Leftrightarrow x+y^3+2y=1\Leftrightarrow x=-y^3-2y+1\)

\(\Rightarrow dx=\left(-3y^2-2\right)dy\)

\(x=-2\Rightarrow-y^3-2y+1=-2\Rightarrow y=1\)

\(x=1\Rightarrow-y^3-2y+1=1\Rightarrow y=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_{-2}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_1y\left(-3y^2-2\right)dy=\int\limits^1_0\left(3y^3+2y\right)dy=\frac{7}{4}\)

Chúc bạn học tốt

\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{8}}\dfrac{dx}{sin^2x.cos^2x}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{8}}\dfrac{2d\left(2x\right)}{sin^22x}=-2cot2x|^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{8}}=...\) 

\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{cos2xdx}{sin^2x.cos^2x}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\left(\dfrac{1}{sin^2x}-\dfrac{1}{cos^2x}\right)dx=\left(-cotx-tanx\right)|^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\)

\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{cos3x}{cosx}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{4cos^3x-3cosx}{cosx}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\left(4cos^2x-3\right)dx\)

\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\left(2cos2x-1\right)dx=\left(sin2x-x\right)|^{\dfrac{\pi}{3}}_0=...\)

Ko thể dịch nổi đề câu 1 a;b, chỉ đoán thôi. Còn câu 2 thì thực sự là chẳng hiểu bạn viết cái gì nữa? Chưa bao giờ thấy kí hiệu tích phân đi kèm kiểu đó

Câu 1:

a/ \(\int\frac{2x+4}{x^2+4x-5}dx=\int\frac{d\left(x^2+4x-5\right)}{x^2+4x-5}=ln\left|x^2+4x-5\right|+C\)

b/ \(\int\frac{1}{x.lnx}dx\)

Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{dx}{x}\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{dt}{t}=ln\left|t\right|+C=ln\left|lnx\right|+C\)

c/ \(I=\int x.sin\frac{x}{2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=sin\frac{x}{2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-2cos\frac{x}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-2x.cos\frac{x}{2}+2\int cos\frac{x}{2}dx=-2x.cos\frac{x}{2}+4sin\frac{x}{2}+C\)

d/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(2x\right)\\dv=x^3dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{2dx}{2x}=\frac{dx}{x}\\v=\frac{1}{4}x^4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{1}{4}x^4.ln\left(2x\right)-\frac{1}{4}\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4.ln\left(2x\right)-\frac{1}{16}x^4+C\)