a: Vì PQ là đường kính của (O)

mà P là điểm chính giữa của cung lớn AB

nên PQ\(\perp\)AB tại D và D là trung điểm của AD

Xét (O) có

ΔPIQ nội tiếp

PQ là đường kính

Do đó: ΔPIQ vuông tại I

=>QI\(\perp\)PC tại I

Xét tứ giác PIKD có \(\widehat{PIK}+\widehat{PDK}=90^0+90^0=180^0\)

nên PIKD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔCIK vuông tại I và ΔCDP vuông tại D có

\(\widehat{ICK}\) chung

Do đó: ΔCIK~ΔCDP

=>\(\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CK}{CP}\)

=>\(CI\cdot CP=CK\cdot CD\)

c: Xét (O) có

\(\widehat{AIQ}\) là góc nội tiếp chắn cung AQ

\(\widehat{BIQ}\) là góc nội tiếp chắn cung BQ

\(sđ\stackrel\frown{AQ}=sđ\stackrel\frown{BQ}\)(QP là đường kính của (O) vuông góc với dây cung AB nên chia AB ra làm hai cung bằng nhau)

Do đó: \(\widehat{AIQ}=\widehat{BIQ}\)

=>IQ là phân giác của góc AIB

mà IQ\(\perp\)IC

nên IC là phân giác ngoài tại đỉnh I của ΔAIB

Gọi số sản phẩm tổ phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch là x(sản phẩm)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số sản phẩm thực tế tổ làm được trong 1 ngày là x+10(sản phẩm)

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(\dfrac{600}{x}\left(ngày\right)\)

Thời gian thực tế hoàn thành là \(\dfrac{600+50}{x+10}=\dfrac{650}{x+10}\left(ngày\right)\)

Thực tế hoàn thành sớm hơn dự kiến 2 ngày nên ta có:

\(\dfrac{600}{x}-\dfrac{650}{x+10}=2\)

=>\(\dfrac{600\left(x+10\right)-650x}{x\left(x+10\right)}=2\)

=>\(2x\left(x+10\right)=600x+6000-650x\)

=>\(2x\left(x+10\right)=-50x+6000\)

=>\(x\left(x+10\right)=-25x+3000\)

=>\(x^2+35x-3000=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=40\left(nhận\right)\\x=-75\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số sản phẩm dự kiến làm trong 1 ngày là 40 sản phẩm

a: \(\text{Δ}=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)\)

\(=\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m+12=m^2-6m+13\)

\(=m^2-6m+9+4=\left(m-3\right)^2+4>0\forall m\)

=>PHương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=8\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=8\)

=>\(\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)-8=0\)

=>\(m^2+2m+1-2m+3-8=0\)

=>\(m^2-4=0\)

=>\(m^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\dfrac{1}{2}x^2=\dfrac{1}{2}x-3\)

=>\(-x^2=x-6\)

=>\(x^2+x-6=0\)

=>(x+3)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=2\end{matrix}\right.\)

Khi x=-3 thì \(y=-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-3\right)^2=-\dfrac{1}{2}\cdot9=-\dfrac{9}{2}\)

Khi x=2 thì \(y=-\dfrac{1}{2}\cdot2^2=-\dfrac{1}{2}\cdot4=-2\)

vậy: (d) cắt (P) tại \(A\left(-3;-\dfrac{9}{2}\right);B\left(2;-2\right)\)

c: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d'): y=ax+b

Vì (d')//(d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b\ne-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d'): \(y=\dfrac{1}{2}x+b\)

Thay x=4 và y=5 vào (d'), ta được:

\(b+\dfrac{1}{2}\cdot4=5\)

=>b+2=5

=>b=3(nhận)

vậy: (d'): \(y=\dfrac{1}{2}x+3\)

Gọi số sản phẩm tổ phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch là x(sản phẩm)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số sản phẩm thực tế tổ làm được trong 1 ngày là x+10(sản phẩm)

Thời gian dự kiến hoàn thành là \(\dfrac{600}{x}\left(ngày\right)\)

Thời gian thực tế hoàn thành là \(\dfrac{600+50}{x+10}=\dfrac{650}{x+10}\left(ngày\right)\)

Thực tế hoàn thành sớm hơn dự kiến 2 ngày nên ta có:

\(\dfrac{600}{x}-\dfrac{650}{x+10}=2\)

=>\(\dfrac{600\left(x+10\right)-650x}{x\left(x+10\right)}=2\)

=>\(2x\left(x+10\right)=600x+6000-650x\)

=>\(2x\left(x+10\right)=-50x+6000\)

=>\(x\left(x+10\right)=-25x+3000\)

=>\(x^2+35x-3000=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=40\left(nhận\right)\\x=-75\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số sản phẩm dự kiến làm trong 1 ngày là 40 sản phẩm

b: Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

=>ΔHBC cân tại H

d: ta có: HB=HC

mà HC>HD(ΔHDC vuông tại D)

nên HB>HD