Có : A = 111...100...0 ( n chữ số 1 và n chữ số 0 ) + 111...1 ( n chữ số 1 ) + 222....2 ( n chữ số 2 )
Đặt 111....1 ( n chữ số 1 ) = a ( a thuộc N )
=> A = a.10^n+a-2a = a.10^n-a = a.(9a+1)-a = 9a^2+a-a = 9a^2 = (3a)^2 là 1 số chính phương
=> ĐPCM

Bài 1:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{1009}=t\Rightarrow 9t+1=10^{1009}\)

Ta có:

\(a+b+1=\underbrace{11...11}_{1009}.10^{1009}+\underbrace{11...1}_{1009}+4.\underbrace{11....1}_{1009}+1\)

\(=t(9t+1)+t+4.t+1=9t^2+6t+1=(3t+1)^2\) là scp.

Ta có đpcm.

Bài 2:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{n}=t\Rightarrow 9t+1=10^n\)

Ta có:

\(a+b+c+8=\underbrace{111..11}_{n}.10^n+\underbrace{111....1}_{n}+\underbrace{11...1}_{n}.10+1+6.\underbrace{111...1}_{n}+8\)

\(t(9t+1)+t+10t+1+6t+8=9t^2+18t+9\)

\(=(3t+3)^2\) là scp.

Ta có đpcm.

Đặt 111....1 ( có n số 1) = a (a thuộc N sao) thì

222....2 (có n số 2) = 2a

100....0(có n số 0) = 9a+1

Khi đó A= 111...1(n số 1). 100...0(n số 0) +111...1(n số 1) - 2a

= a.(9a+1) +a - 2a = 9a^2 + a +a -2a = 9a^2 =(3a)^2 chính phương

=> ĐPCM

\(A=444......4\) (\(2n\) chữ số 4) \(=4.1111.....111\) (\(2n\) chữ số 1) \(=4.\dfrac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=222.....22\) (\(n+1\) chữ số 2) \(=2.111....11\) (\(n+1\) chữ số 1) \(=2.\dfrac{10^{n+1}-1}{9}\)

\(C=888....888\) (\(n\) chữ số 8) \(=8.111....1111\) (\(n\) chữ số 1) \(=8.\dfrac{10^n-1}{9}\)

\(\Leftrightarrow A+B+C+7=\dfrac{4,10^{2n}+2.10^{n+1}+8.10^n-14}{9}\)