Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)

Với a, b > 0, ta có: 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.

Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi

\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.

\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)

\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)

\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab=4\Rightarrow a+b\ge2\)

\(P=\dfrac{a^4}{a+ab}+\dfrac{b^4}{b+ab}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b+2ab}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2.2ab}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+3ab}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+1+2}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{2\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2.1}+2}{a+b+2}=\dfrac{a+b+2}{a+b+2}=1\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)

\(2a\)\(:\)\(x+y=2\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

\(\Rightarrow4-2xy\)nhỏ nhất 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất 

Mà x + y = 2 \(\Rightarrow\)x , y không thể là 2 số âm

vì ta cần xy lớn nhất nên x , y không thể khác dấu

\(\Rightarrow\)ta chỉ còn trường hợp x , y đều dương và x + y = 2 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất khi và chỉ khi x = 2 ; y= 0 và x = 0 ; y = 2

không chắc nữa

Ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4\Rightarrow a+b\ge2\)

Và \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\ge2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{b+1}=a^3-\frac{a^3b}{b+1}\ge a^3-\frac{a^3b}{2\sqrt{b}}=a^3-\frac{a^3\sqrt{b}}{2}\)

Tương tự cho ta cũng có:\(\frac{b^3}{a+1}\ge b^3-\frac{b^3\sqrt{a}}{2}\)

\(\Rightarrow Q\ge a^3+b^3-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\left(1\right)\)

TIếp tục xài AM-GM: \(\sqrt{b}\le\frac{b+1}{2}\Rightarrow a^3\sqrt{b}=\frac{a^3b+a^3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\le\frac{\frac{a^3b+a^3}{2}+\frac{ab^3+b^3}{2}}{2}=\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\)

\(\Rightarrow2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\)

Cần chứng minh \(2-\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\ge1\)\(\Leftrightarrow\frac{a^3b+ab^3+a^3+b^3}{4}\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3+a^3+b^3\ge4\Leftrightarrow a^3b+ab^3\ge2\) vì \(a^3+b^3\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2\left(a+b\right)\ge2\) đúng vì ab=1 và \(a+b\ge2\)

\(\Rightarrow Q_{Min}=2-\frac{a^3\sqrt{b}+b^3\sqrt{a}}{2}\ge2-1=1\)

Khi a=b=1

Lời giải:
\(P=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{1-2(ab+bc+ac)}\)

\(=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}\) với $x=ab+bc+ac$

Theo BĐT AM-GM:
$1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow x=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$

Vậy ta cần tìm min $P=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $0< x\leq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x})[2x+(1-2x)]\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$

$\Leftrightarrow P\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=11+2\sqrt{30}$

Vậy $P_{\min}=11+2\sqrt{30}$

Giá trị này đạt tại $x=3-\sqrt{\frac{15}{2}}$

từ giả thiết, ta có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\le1\)

Mà \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\Rightarrow a+b\le1\)

Mà từ BĐT cô-si, ta luôn có \(\left(a+b\right)^3\ge4ab\left(a+b\right)\ge4\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\)

Mà áp dụng BĐT Bu-nhi-a , ta có \(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)

=>\(\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\le\frac{1}{2}\)

Mà \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}=\frac{4}{2+\frac{1}{2}}=\frac{8}{5}\)

Dấu = xảy ra ,=> a=b=1/2

^_^

\(a^3+b^3\le ab\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)\le ab\Leftrightarrow a+b\le1.\).Ta có: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}.\)

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}=\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2-2ab}\ge\frac{4}{2+1-\frac{1}{2}}\ge\frac{8}{5}.\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1/2.

Trần Hữu Ngọc Minh, cho t hỏi 

\(ab\le\frac{1}{4}\Rightarrow-2ab\ge-\frac{1}{2}\)

Tức là k đánh giá được mẫu !!!?