a: Xét tứ giác DHEC có

góc HDC+góc HEC=180 độ

nên DHEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác ABDE có

góc AEB=góc ADB=90 độ

Do đo; ABDE là tứ giác nội tiếp

a) ý bạn chắc là BD cắt đường tròn đk BC tại K nhỉ.chứ ko có điểm K

Vì BC là đường kính \(\Rightarrow\angle CKB=90\)

\(\Rightarrow\angle DHC+\angle DKC=90+90=180\Rightarrow DHCK\) nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh được H là trung điểm DE

\(\Rightarrow\) DE và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

\(\Rightarrow ADCE\) là hình bình hành có \(DE\bot AC\Rightarrow ADCE\) là hình thoi

\(\Rightarrow CE\parallel DA\) mà \(DA\bot DB\left(\angle ADB=90\right)\Rightarrow CE\bot DB\)

mà \(CK\bot DB\left(\angle CKB=90\right)\Rightarrow C,E,K\) thẳng hàng 

c) MN cắt DE tại G.Kẻ tiếp tuyến MM' của (O)

Ta có: \(EM^2+DN^2=GM^2+GE^2+GD^2+GN^2\)

\(=\left(GM^2+GD^2\right)+\left(GE^2+GN^2\right)=MD^2+EN^2\left(1\right)\)

Vì MM' là đường kính \(\Rightarrow\angle MNM'=90\Rightarrow M'N\bot MN\)

mà \(MN\bot DE\) \(\Rightarrow M'N\parallel DE\) \(\Rightarrow DNM'E\) là hình thang

mà \(DNM'E\) nội tiếp \(\Rightarrow DNM'E\) là hình thang cân

\(\Rightarrow EN=M'D\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow EM^2+DN^2=DM^2+DM'^2=MM'^2=4R^2\)

Lời giải:

*** Mình chưa thấy điểm $I$ có vai trò gì trong bài này.

Gọi $D$ là giao điểm $BC, AN$ và $L$ là giao $AN$ với $(O)$

Dễ thấy $\triangle ABN=\triangle MCN$ do:

$AB=MC$ (tính chất cung bị chặn bởi 2 dây song song)

$NB=NC$

$\widehat{ABN}=\frac{1}{2}\text{sđc(AB>)}=\frac{1}{2}\text{sđc(MC>)}=\widehat{MCN}$

Do đó:

$\widehat{BAD}=\widehat{BAN}=\widehat{CMN}=\widehat{CAH}$

$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAD}$

Ta có:

$\frac{HB}{CH}=\frac{S_{ABH}}{S_{ACH}}=\frac{AB.AH.\sin BAH}{AC.AH.\sin CAH}=\frac{AB.\sin BAH}{AC\sin CAH}$

$=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin BAH}{\sin CAH}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAD}{\sin BAD}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CAL}{\sin BAL}=\frac{AB}{AC}.\frac{\sin CBL}{\sin BCL}=\frac{AB}{AC}.\frac{LC}{BL}(*)$

Mà:

Dễ cm $\triangle ABN\sim \triangle BLN, \triangle ACN\sim \triangle CLN$

$\Rightarrow \frac{AB}{BL}=\frac{BN}{LN}=\frac{CN}{LN}=\frac{AC}{CL}$

$\Rightarrow \frac{LC}{BL}=\frac{AC}{AB}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{BH}{HC}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$

$\Rightarrow BH=HC$ nên $H$ là trung điểm của $BC$

Hình vẽ:

** Đây là bài toán liên quan đến đường đẳng giác, đường đối trung. Bạn có thể google search để hiểu chuyên sâu hơn về tính chất của đường này.

a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD//CH

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của HD

Xét ΔDAH có DI/DH=DO/DA

nen Io//AH và IO=AH/2

=>AH=2OI