Cho ac=bd (b,c\(\ne\)0 và b \(\ne\)c)
cm \(\frac{\left(a+d\right)^{2000}}{\left(b+c\right)^{2000}}=\frac{a^{2000}+d^{2000}}{b^{2000}+c^{2000}}\)giup mk nha cac ban
1. Cho a,b,c>0 và a^2000+b^2000+c^2000=3. Tìm max P=a^2+b^2+c^2
2. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Tìm max \(A=\left(3-\frac{b+c}{a}\right)\left(3-\frac{c+a}{b}\right)\left(3-\frac{a+b}{c}\right)\)
1.
Áp dụng hệ quả cô si:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^{1000}\le3^{999}\left(a^{2000}+b^{2000}+c^{2000}\right)=3^{1000}\)
=>\(a^2+b^2+c^2\le3\)Dấu = khi a=b=c=1
không biết đúng hay sai đâu
1.Ta co a2000+1+1+1+...+1 ( 999 sô 1) > =1000. \(\sqrt[1000]{a^{2000}.1.1...1}\)=a2\(\Rightarrow\)a2 \(\le\)(a2000+999) :1000 (BDT cósi)
Tưong tu b2\(\le\)(b2000+999):1000 ; c2\(\le\)(c2000+999):1000
a2+b2+c2\(\le\)(a2000+b2000+c2000+999+999+999) :1000 =(3+999.3) :1000=3000:1000=3
Vay gtln cua a2+b2+c2 la 3
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)
Cho tỉ lệ thức\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Chứng minh :
d) \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\) f) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{ab}{cd}\) h) \(\frac{7a^2+ab}{11a^2-8b^2}=\frac{7c^2+3cd}{11c^2-8d^2}\)
e) \(\frac{3a+5b}{2a-7b}=\frac{3c+5d}{2c-7d}\) g) \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\) i) \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2000}=\frac{a^{2000}+b^{2000}}{c^{2000}+d^{2000}}\)
Đặt \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=k \(\hept{\begin{cases}a=kb\\c=kd\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{a+c}{b+d}\)= \(\frac{kb+kd}{b+d}\)=\(\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}\)=k (1)
\(\frac{a-c}{b-d}\)= \(\frac{kb-kd}{b-d}\)=\(\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}\)=k (2)
Từ (1) và (2) =>\(\frac{a+c}{b+d}\)=\(\frac{a-c}{b-d}\)
Cho a,b,c thõa mản: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Tính: \(\left(a^{25}+b^{25}\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^{2000}-a^{2000}\right)\)
Giải chi tiết giúp mình nhé ,thank
Ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\frac{ab+ca+c\left(b+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
<=> a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
TH1: Nếu a+b=0
Ta có: \(a^{25}+b^{25}=\left(a+b\right)\left(...\right)\)=> A=0
TH2: Nếu b+c=0
Ta có: \(b^3+c^3=\left(b+c\right)\left(...\right)=0\)=> A=0
TH3: Nếu c+a=0 => c=-a => \(c^{2000}=a^{2000}\Rightarrow c^{2000}-a^{2000}=0\)=> A=0
Vậy trong tất cả các TH thì A=0
Cho a,b,c là các số thỏa mãn 2018≤ a,b,c ≤2019. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left(a-b\right)^{2000}+\left(b-c\right)^{2000}+\left(c-a\right)^{2000}\)
-Tham khảo:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-thoa-man-2018le-abcle2019-tim-gtln-cua-bieu-thuc-plefta-bright2000leftb-cright2000leftc-aright.253535226325
Cho a,b,c là các số thỏa mãn 2018≤ a,b,c ≤2019. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left(a-b\right)^{2000}+\left(b-c\right)^{2000}+\left(c-a\right)^{2000}\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x+y=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2000}\le x\\y^{2000}\le y\\z^{2000}\le z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=x^{2000}+y^{2000}+z^{2000}\le x+y+z=2z\le2\)
\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi (x;y;z)=(0;1;1) và hoán vị
\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2018;2018;2019\right)\) và hoán vị
Cho a,b,c là các số thỏa mãn \(2018\le a,b,c\le2019\).
Tìm GTLN của biểu thức \(P=\left(a-b\right)^{2000}+\left(b-c\right)^{2000}+\left(c-a\right)^{2000}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\a-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x+y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2020}\le x\\y^{2020}\le y\\z^{2020}\le z\end{matrix}\right.\)
\(P=x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}\le x+y+z=2z\le2\)
\(\Rightarrow P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(2018;2018;2019\right);\left(2018;2019;2019\right)\) và hoán vị
Tìm x, biết :
a, \(\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{1}{98\cdot99\cdot100}\right)x=-3\);
b, \(\left(\frac{\frac{2000}{1}+\frac{1999}{2}+...+\frac{1}{2000}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2001}}\right)x=\frac{-1}{5}\).
c,\(\left(\frac{\frac{2000}{1}+\frac{1999}{2}+...+\frac{1}{2000}+2000}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2001}}\right):x=\frac{-2001}{2002}\).
Cho các số thực dương a,b,c,d. Chung minh rang \(\frac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\frac{a}{\left(b+\sqrt{a}\right)^2}\ge\frac{\sqrt{bd}}{ac+\sqrt{bd}}\)
Giup mk voi cac ban
IMO 2000
Cho các số dương a,b,c sao cho \(abc=1\)Chứng minh rằng \(\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\le1\)
Vì abc = 1 nên ta hoàn toàn có thể đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)
Khi đó thì \(a-1+\frac{1}{b}=\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y}=\frac{z+x-y}{y}\)
Tương tự ta có: \(b-1+\frac{1}{c}=\frac{x+y-z}{z}\); \(c-1+\frac{1}{a}=\frac{y+z-x}{x}\)
Ta đưa điều phải chứng minh về dạng \(\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-z\right)\le xyz\)(*)
Đặt \(\hept{\begin{cases}y+z-x=p\ge0\\z+x-y=q\ge0\\x+y-z=r\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{q+r}{2}\\y=\frac{r+p}{2}\\z=\frac{p+q}{2}\end{cases}}\)thì (*) trở thành \(pqr\le\frac{\left(p+q\right)\left(q+r\right)\left(r+p\right)}{8}\)(Nhưng điều này đúng theo BĐT AM - GM vì \(\frac{p+q}{2}\ge2\sqrt{pq}\left(1\right);\frac{q+r}{2}\ge2\sqrt{qr}\left(2\right);\frac{r+p}{2}\ge2\sqrt{rp}\left(3\right)\), nhân theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được điều phải chứng minh)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Bỏ số 2 chỗ áp dụng AM - GM cho mình nha!
\(\frac{p+q}{2}\ge\sqrt{pq};\frac{q+r}{2}\ge\sqrt{qr};\frac{r+p}{2}\ge\sqrt{rp}\)