1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

Dùng phương pháp chặn :

x \(\le\) y \(\le\) z \(\Rightarrow\) x² \(\le\) y² \(\le\) z² \(\Rightarrow\) x² + y² + z² \(\le\) 3z² 

\(\Rightarrow\) 3z² \(\ge\) 34 \(\Leftrightarrow\) z² \(\ge\) 34/3  (1)

x² + y² + z²  = 34 mà x,y,z \(\in\) N \(\Rightarrow\) z² \(\le\) 34 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có : 

34/3  \(\le\) z² \(\le\)  34 

\(\Rightarrow\) z² \(\in\) { 16; 25}

vì z \(\in\) N\(\Rightarrow\) z \(\in\) { 4; 5}

th1 Z = 4 ta có :

x² + y² + 16 = 34

x² + y² = 12 

x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x² \(\le\)y² \(\Rightarrow\) x² + y² \(\le\) 2y² \(\Rightarrow\) 12 \(\le\)2y² \(\Rightarrow\) y² \(\ge\) 6 (*)

x² + y² = 12 \(\Rightarrow\) y² \(\le\) 12 (**)

Kết hợp (*) và (**) ta có :

6 \(\le\) y² \(\le\) 12 \(\Rightarrow\) y² = 9 vì y \(\in\) N\(\Rightarrow\) y = 3

với y = 3 ta có : x² + 3² = 12 \(\Rightarrow\) x² = 12-9 = 3 \(\Rightarrow\) x = +- \(\sqrt{3}\)(loại vì x \(\in\) N)

th2 : z = 5 ta có :

x² + y² + 25 = 34

\(\Rightarrow\) x² + y² = 34 - 25  = 9

x \(\le\) y \(\Rightarrow\) x² \(\le\) y² \(\Rightarrow\) x² + y² \(\le\)2y² \(\Rightarrow\) 2y² \(\ge\) 9 \(\Rightarrow\) y² \(\ge\) 9/2 (a)

x² + y² = 9 \(\Rightarrow\) y² \(\le\) 9 (b)

Kết hợp (a) và (b) ta có :

9/2 \(\le\) y² \(\le\) 9 \(\Rightarrow\) y² = 9 vì y \(\in\) N \(\Rightarrow\) y = 3

với y = 3 \(\Rightarrow\) x² + 3² = 9 \(\Rightarrow\) x² = 0 \(\Rightarrow\) x = 0

kết luận (x; y; z) =( 0; 3; 5) là nghiệm duy nhất thỏa mãn pt 

Lời giải:
Nếu $y\vdots 5$ thì $5^x=y^2+y+1$ chia 5 dư 1

$\Rightarrow x=0$

Khi đó: $y^2+y+1=5^0=1\Rightarrow y^2+y=0$

$\Rightarrow y(y+1)=0$. Mà $y$ là stn nên $y=0$

Nếu $y$ chia 5 dư 1. Đặt $y=5k+1$. Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+1)^2+5k+1+1=25k^2+15k+3$ chia 5 dư 3
$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 3 (vô lý -loại) 

Nếu $y$ chia 5 dư 2. Đặt $y=5k+2$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+2)^2+5k+2+1=25k^2+25k+7$ chia 5 dư 2

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 2 (vô lý)

Nếu $y$ chia 5 dư 3. Đặt $y=5k+3$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+3)^2+5k+3+1=25k^2+35k+13$ chia 5 dư 3

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 3 (vô lý)

Nếu $y$ chia 5 dư 4. Đặt $y=5k+4$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+4)^2+5k+4+1=25k^2+45k+21$ chia 5 dư 1

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 1 $\Rightarrow x=0$

$\Rightarrow y^2+y+1=5^x=1\Rightarrow y^2+y=0$

$\Rightarrow y(y+1)=0\Rightarrow y=0$ (do $y$ là stn). Mà $y$ chia 5 dư 4 nên ô lý.

Vậy $(x,y)=(0,0)$