a.

Do \(\widehat{ACB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^0\Rightarrow\Delta ACD\) vuông tại C

\(\Rightarrow\widehat{ADC}+\widehat{DAC}=90^0\) (1)

Lại có \(\widehat{DAC}=\widehat{DAx}\) (do AD là phân giác)

\(\widehat{BAE}+\widehat{DAx}=90^0\) (Ax là tiếp tuyến tại A)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}+\widehat{DAC}=90^0\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{BAE}\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại B

b.

\(\widehat{AEB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0\Rightarrow AE\perp BE\)

\(\Rightarrow BE\) là đường cao trong tam giác BAD

Mà tam giác BAD cân tại B \(\Rightarrow BE\) đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AD

Lại có O là trung điểm AB

\(\Rightarrow OE\) là đường trung bình tam giác ABD

\(\Rightarrow OE||BD\)

c.

Xét tam giác ABD có: \(AC\perp BD;BE\perp AD\)

\(\Rightarrow I\) là trực tâm tam giác ABD

\(\Rightarrow DI\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow DI\perp AB\)

d.

Ta có: \(\widehat{BAC}+\widehat{CAx}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+2.\widehat{CAE}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\dfrac{90^0-20^0}{2}=35^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=20^0+35^0=55^0\)

Xét tam giác vuông ABE có:

\(cos\widehat{BAE}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AE=AB.cos\widehat{BAE}=2.cos55^0\approx1,15\left(cm\right)\)

a:góc ABD=góc DCA

góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)

góc FAD=góc CAD

=>góc ABD=góc CBD

=>BD là phân giác của góc ABE

mà góc ADB=90 độ

nên BD là đường cao

=>ΔBAE cân tại B

b: Xét ΔEAB có

AC,BD là các đường cao

AC cắt BD tại K

Do đó: K là trực tâm

=>EK vuông góc với BA

c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔAKF cân tại A

=>góc AKF=góc AFK=góc KFE

=>AK//FE

Xét tứ giác AKEF có

AK//FE

AF//KE

KE=KA

Do đó: AKEF là hình thoi

a) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với Ax tại N

Ta có EN song song AB ( cùng \(\perp\) Ax)

Xét ΔNAE vuông tại N và ΔCAD vuông tại C, có

\(\widehat{NAE}\) = \(\widehat{CAD}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{CAx}\))

→ΔNAE đồng dạng ΔCAD (gn)

→\(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{ADC}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{BAE}\) ( 2goc1 so le trong của eN song song AB)

→\(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{BAE}\) (cùng bằng \(\widehat{AEN}\) )

→ΔBAD cân tại B

Ta lại có ΔOAE cân tại O (OA=OE)

→\(\widehat{OAE}\) = \(\widehat{OEA}\) mà \(\widehat{BAE}\) =\(\widehat{ADC}\) (cmt)

→\(\widehat{OEA}\) = \(\widehat{ADC}\) (cùng bằng \(\widehat{OAE}\) )

mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị của OE và BD→OE song song BD

b)Xét ΔACB nội tiếp (O) có đường kính AB

→ΔACB vuông tại C có cạnh huyền AB

Xét ΔAEB nội tiếp (O) có đường kính AB

→ΔAEB vuông tại E có cạnh huyền AB

Xét ΔADB có 2 đường cao Ac và BE cắt nhau tại I

→I là trực tâm→DI là đường cao trong ΔADB→DI \(\perp\) AB