1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

\(b,n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\\ =\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\\ =2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\\ =16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)

Do đó \(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮24.16=384\)

\(c,\forall n=1\Leftrightarrow10+18-28=0⋮27\\ \text{G/s }n=k\Leftrightarrow\left(10^k+18k-28\right)⋮27\\ \Leftrightarrow10^k+18k-28=27m\left(m\in N\right)\\ \Leftrightarrow10^k=27m-18k+28\\ \forall n=k+1\Leftrightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-28\\ =10.10^k+18k-10\\ =10\left(27m-18k+28\right)+18k-10=270m-162k+270⋮27\)

Theo PP quy nạp ta đc đpcm

a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:

\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

mà \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)

và ƯCLN(2;3)=1

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)

hay \(n^5-n⋮6\)

mà \(n^5-n⋮5\)(cmt)

và ƯCLN(6;5)=1

nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)

hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)

a, Để \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{16}-\dfrac{5}{4}-2+a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{51}{16}\)

b, \(n^3+6n^2+8n=n\left(n^2+6n+8\right)=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)

Với n chẵn thì 3 số này là 3 số chẵn lt nên chia hết cho \(2\cdot4\cdot6=48\)

a, P(x):Q(x)=1/2x^3-1/4x^2-19/8x+51/16(dư a-51/16)=>Để P(x) chia hết cho Q(x) thì a-51/16 phải bằng 0 => a=51/16

b, n3 + 6n2 + 8n= n(n2 +6n +8)

                          = n(n2 + 2n + 4n + 8)

                          = n[ n(n + 2) + 4(n + 2) ]

                          = n(n + 2)(n + 4)

Vì n là số chẵn nên đặt n=2k (k thuộc Z) ta được:

                             2k(2k  + 2)(2k + 4)

                          =8k(k + 1)(k +2)

Vì k, k+1, k+2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một sò chia hết cho 2 và một sồ chia hết cho 3 => k(k+1)(k+4)⋮6

                                                  => 8k(k+1)(k+4)⋮48 (đpcm)