\(10^k-1⋮19\Rightarrow10^k\equiv1\left(mod19\right)\)

\(\Rightarrow\left(10^k\right)^2\equiv1^2\left(mod19\right)\)

\(\Rightarrow10^{2k}\equiv1\left(mod19\right)\)

\(\Rightarrow10^{2k}-1\equiv0\left(mod19\right)\)

Vậy ....

10^2k - 1 = (10^k)² - 1

= ( 10^k - 1 ) ( 10^k + 1 ) chia hết cho 19 vì 10^k - 1 chia hết cho 19.

10^k -1 chia hết cho 19 => 10k - 1 = 19n 

=> 10^k = 19n + 1 => 10^2k = (10^k)² = (19n + 1)² = (19n + 1)(19n + 1) = 361n² + 38n + 1

=> 10^2k - 1 = 361n² + 38n + 1 - 1 = 361n² + 38n chia hết cho 19 => 10^2k - 1 chia hết cho 19

NNH làm đúng đó

Đặt A=\(10^{2k}-1\)

A-\(\left(10^k-1\right)\)=\(10^{2k}-1-\left(10^k-1\right)\)

\(A-\left(10^k-1\right)=10^{2k}-1-10^k+1\)

\(A-\left(10^k-1\right)=\left(10^{2k}-10^k\right)\)

\(A-\left(10^k-1\right)=10^k\left(10^k-1\right)⋮19\)(vì \(10^k-1⋮19\))

Vì \(A-\left(10^k-1\right)⋮19\)

Mà \(\left(10^k-1\right)⋮19\Rightarrow A⋮19\left(đpcm\right)\)

Theo một tính chất cơ bản ta dễ có:

\(10^{2k}-1=\left(10^k\right)^2-1⋮10^k-1⋮19\)

Suy ra đpcm

Sửa lại đề là: Cho 10^k - 1 chia hết cho 19

a) 10^k - 1 chia hết cho 19 => 10^k - 1 = 19n (n là số tự nhiên)

=> 10^k = 19n + 1 => 10^2k = (10^k)² = (19n +1)² = (19n +1)(19n+1)  = 361n² + 38n + 1

=> 10^2k - 1  = 361n² + 38n + 1 - 1 = 361n² + 38n chia hết cho 19 => 10^2k - 1 chia hết cho 19

b) Tường tự,

10^3k = (10^k)³ = (19n + 1)³ = (19n +1)².(19n +1) = (361n² + 38n +1).(19n +1) = 6859n³ + 1083n² + 57n + 1

=> 10^3k -1 = 6859n³ + 1083n² + 57n  chia hết cho 19 

vậy 10^3k - 1 chia hết cho 19 

hình như sai đề vì số là lũy thừa của 10 làm gì chia hết cho 19           

sai đề rồi, ý b phải là 10^3k chia hết cho 19