Chứng minh được  B M ⏜ = M C ⏜ => AM là phân giác trong

Mặt khác:  M A N ^ = 90 0

=> AN là phân giác ngoài

Chứng minh được  B M ⏜ = M C ⏜ => AM là phân giác trong

Mặt khác:  M A N ^ = 90 0

=> AN là phân giác ngoài

Tham khảo:

a) chắc đề hỏi là tứ giác BHCD là hình gì chứ ko có điểm K

Vì AD là đường kính \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\angle ACD=90\\\angle ABD=90\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD\bot AC\\BD\bot AB\end{matrix}\right.\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\bot AC\\CH\bot AB\end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(CD\parallel BH,BD\parallel CH\) \(\Rightarrow BHCD\) là hình bình hành

b) Vì BHCD là hình bình hành có I là trung điểm BC

\(\Rightarrow H,I,D\) thẳng hàng và I cũng là trung điểm HD

Xét \(\Delta AHD\) có O là trung điểm AD,I là trung điểm HD

\(\Rightarrow OI\) là đường trung bình \(\Rightarrow OI=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OI\)

c) AI cắt HO tại G'.

Vì \(OI\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{OI}=\dfrac{AG'}{G'I}\Rightarrow\dfrac{AG'}{G'I}=2\Rightarrow\dfrac{AG'}{AI}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow G'\) là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow G\equiv G'\Rightarrow\) đpcm

Vì \(OI\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{GH}{GO}=\dfrac{AH}{OI}=2\Rightarrow GH=2GO\)

d) Kẻ \(AF\bot HO\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{AOG}=\dfrac{1}{2}.AF.OG\\S_{AHG}=\dfrac{1}{2}.AF.HG\end{matrix}\right.\)

mà \(GH=2GO\Rightarrow S_{AHG}=2S_{AOG}\)

Nối A → M; ta có góc ARM = góc AQM = 90° => tứ giác ARMQ nội tiếp 

=> góc RAQ + góc RMQ = 180° 

Lại có cung BAM = 74° => cung BCM = 360° - 74° = 286° => góc BAM = 1/2.cung BCM = 143° 

Góc BAM bù với góc RAM => góc RAM = 180° - 143° = 33° 

Góc RAM và góc RQM cùng chắn cung RM của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMRQ 

=> góc RAM = góc RQM = 33° 

Mà góc AQR phụ với góc RQM => góc AQR = 90° - 33° = 57° 
 

Ta có: tứ giác AMBC nội tiếp đường tròn nên góc MCB= MAB=74 độ 
Mặt khác, tứ giác QARM nội tiếp nên MAB =MQR=74 độ 
Ta lại có: MQR+AQR =90 độ nên tính được AQR 

Từ giả thiết suy ra OA = OB = OC.

Vậy các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA.

Ta dễ có tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB => ^CDE = ^BAE

Lại có ^BAE = ^CAD (= 90⁰ - ^ACB), suy ra ^CDE = ^CAD = 90⁰ - ^ACD => DE vuông góc AC

Thấy D,E,P cùng có tung độ bằng 1 => D,E,P thẳng hàng, vì P thuộc AC nên DE vuông góc với AC tại P

Đường thẳng AC: đi qua P(2;1), VTPT \(\overrightarrow{DE}=\left(5;0\right)\) \(\Rightarrow AC:x-2=0\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\x+y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\Rightarrow A\left(2;0\right)\)

Đường thẳng BC: đi qua \(D\left(-2;1\right)\),VTPT \(\overrightarrow{DA}=\left(4;-1\right)\Rightarrow BC:4x-y+9=0\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\4x-y+9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=17\end{cases}\Rightarrow C\left(2;17\right)}\)

Đường thẳng BE: đi qua \(E\left(3;1\right)\), VTPT \(\overrightarrow{AE}=\left(1;1\right)\Rightarrow BE:x+y-4=0\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}4x-y+9=0\\x+y-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=5\end{cases}}\Rightarrow B\left(-1;5\right)\)

Vậy \(A\left(2;0\right),B\left(-1;5\right),C\left(2;17\right)\).