Ko biết

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{[\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}].[\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}]}\)

=\(\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)^2-n^2\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{\sqrt{n}}{n}-\dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1}\)

=\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng ta có S=\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}}-\dfrac{1}{\sqrt{2025}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2025}}=1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45}\)

Ta có công thức tổng quát:

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(n+1-n\right)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Vậy \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{2025\sqrt{2024}+2024\sqrt{2025}}=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}}-\dfrac{1}{\sqrt{2025}}=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2025}}=1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45}\)

B = \(1-\dfrac{1}{2025}\)   \(A=1-\dfrac{1}{2024}\)

Vì \(\dfrac{1}{2025}< \dfrac{1}{2024}\)

Nên B>A

Ta có :

\(\dfrac{2023}{2024}\)=\(\dfrac{2024-1}{2024}\)=\(\dfrac{2024}{2024}\)-\(\dfrac{1}{2024}\)=1-\(\dfrac{1}{2024}\)

\(\dfrac{2024}{2025}\)=\(\dfrac{2025-1}{2025}\)=\(\dfrac{2025}{2025}\)-\(\dfrac{1}{2025}\)=1=\(\dfrac{1}{2025}\)

Ta thấy: \(\dfrac{1}{2024}\) lớn hơn \(\dfrac{1}{2025}\)

Nên : \(\dfrac{2023}{2024}\) lớn hơn \(\dfrac{2024}{2025}\)

⇒A lớn hơn B

>

\(1:\dfrac{2}{3}:\dfrac{3}{4}:\dfrac{4}{5}:...:\dfrac{2024}{2025}\)

= \(1\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{5}{4}\cdot...\cdot\dfrac{2025}{2024}=\dfrac{2025}{2}\)

Câu b thì gg search nhé

1) Ta thấy:

\(4=1+3=1+\sqrt{9}\)

\(1+2\sqrt{2}=1+\sqrt{2^2\cdot2}=1+\sqrt{8}\)

Mà: \(\sqrt{8}< \sqrt{9}\)

\(\Rightarrow1+\sqrt{8}< 1+\sqrt{9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+\sqrt{8}}>\dfrac{1}{1+\sqrt{9}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+2\sqrt{2}}>\dfrac{1}{4}\)

2) Ta thấy:

\(2018< 2024\)

\(\Rightarrow\sqrt{2018}< \sqrt{2024}\) (1)

\(2025< 2026\)

\(\Rightarrow\sqrt{2025}< \sqrt{2026}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\sqrt{2018}+\sqrt{2025}< \sqrt{2024}+\sqrt{2026}\)

2023 mũ 2024+2024 mũ 2025+2025 mũ 2026

Xét 2023 mũ 2024

\(^{2023^{2024}}\)=\(^{2023^{4.501}}\)=(\(^{2023^4}\))\(^{^{501}}\)

Ta có:\(^{2023^4}\)tận cùng là 1

=>2023 mũ 4 tất cả mũ 501 tận cùng là 1

Xét 2024 mũ 2025

2024 mũ 2025=2024 mũ 2 .1012+1=2024 mũ 2.1012 nhân 2024=(2024 mũ 2)mũ 1012.2024

Ta có:2024  mũ 2 tận cùng là 6

=>(2024 mũ 2) tất cả mũ 1012 tận cùng là 6

=>(2024 mũ 2) tất cả mũ 1012 nhân 2024 tận cùng là4

Xét 2025 mũ 2026

2025 mũ 2026

 5 mũ bao nhiêu thì chữ số tận cùng vẫn là 5

=>2025 mũ 2026 tận cùng là 5

Vậy tổng của các chữ số tận cùng là:1+4+5=10 chia hết cho 10

=> Tổng của 2023 mũ 2024+2024 mũ 2025+2025 mũ 2026 chia hết cho 10

Đây là bài áp dụng tính chất tìm chữ số tận cùng

Chúc bn học tốt

\(2023^{2024}+2024^{2025}+2025^{2026}\equiv\left(-1\right)^{1012}+\left(-1\right)^{2025}+0\equiv0\)(mod 5)

-> chia hết cho 5

Dễ dàng nhận thấy \(2023^{2024}+2025^{2026}\) là số chẵn mà \(2024^{2025}\)cũng là số chẵn nên chia hết cho 2

Do (2,5) = 1 nên chia hết cho 10

A = \(\dfrac{1}{2021.2022}\) + \(\dfrac{1}{2022.2023}\) + \(\dfrac{1}{2023.2024}\) + \(\dfrac{1}{2024.2025}\) - \(\dfrac{4}{2021.2025}\)

A = \(\dfrac{1}{2021}\) - \(\dfrac{1}{2022}\) + \(\dfrac{1}{2022}\) - \(\dfrac{1}{2023}\) + \(\dfrac{1}{2023}\) - \(\dfrac{1}{2024}\) + \(\dfrac{1}{2024}\) - \(\dfrac{1}{2025}\) - \(\dfrac{1}{2021}\) + \(\dfrac{1}{2025}\)

A = (\(\dfrac{1}{2021}\) - \(\dfrac{1}{2021}\))  + (\(\dfrac{1}{2022}\) - \(\dfrac{1}{2022}\)) + (\(\dfrac{1}{2023}\) - \(\dfrac{1}{2023}\)) + (\(\dfrac{1}{2024}\) - \(\dfrac{1}{2024}\)) + (\(\dfrac{1}{2025}\) - \(\dfrac{1}{2025}\))

A = 0 + 0  +0  + 0+ ... + 0

A = 0