=6(x^2-4y^2)

=6(x-2y)(x+2y)

\(6x^2-24y^2=6\left(x^2-4y^2\right)\)

\(=6\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)\)

b: 6x^2-24y^2

=6(x^2-4y^2)

=6(x-2y)(x+2y)

c: =(4x)^3-(3y)^3

=(4x-3y)(16x^2+12xy+9y^2)

d: x^4-2x^3-x^2

=x^2(x^2-2x-1)

bạn đăng nhiều vậy ??

bái phục chị Nguyễn Phương HÀ !

\(A=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)

Đặt \(\left(x+1;y-2\right)=\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

\(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+1=u\\y-2=v\end{cases}}\Rightarrow A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\)(với \(u,v\inℝ\))

Điều kiện đã cho ban đầu trở thành \(\left(u+1\right)\left(v+1\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow uv+u+v+1=\frac{9}{4}\Leftrightarrow uv+u+v=\frac{5}{4}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(2u-1\right)^2\ge0\forall u\inℝ\\\left(2v-1\right)^2\ge0\forall v\inℝ\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4u^2-4u+1\ge0\\4v^2-4v+1\ge0\end{cases}}\forall u,v\inℝ\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4u^2+1\ge4u\\4v^2+1\ge4v\end{cases}}\Rightarrow u^2+v^2\ge u+v-\frac{1}{2}\forall u,v\inℝ\)(*)

và \(\left(u-v\right)^2\ge0\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow u^2-2uv+v^2\ge0\forall u,v\inℝ\)

\(\Rightarrow u^2+v^2\ge2uv\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv\forall u,v\inℝ\)(**)

Cộng theo vế của (*) và (**), ta được: \(\frac{3}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv+u+v-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow u^2+v^2\ge\frac{1}{2}\)(**

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được:

\(A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\ge\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+4}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(u=v=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\)đạt được khi \(x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)

Đặt \(a=2+x;b=y-1\) thì \(ab=\frac{9}{4}\)

Thì \(\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}\)

và \(\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}=\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\) (cái này dùng phương pháp đồng nhất hệ số là xong)

Vậy ta tìm Min \(A=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}+\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\)

\(=\sqrt{\left(a^4-4a^3+4a^2\right)+2\left(a^2-2a+1\right)}+\sqrt{\left(b^4-4b^3+4b^2\right)+2\left(b^2-2b+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^2-2a\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(a-1\right)\right]^2}+\sqrt{\left(b^2-2b\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(b-1\right)\right]^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a^2+b^2-2a-2b\right)^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-2\left(a+b\right)\right]^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{t^2}{2}-2t\right)^2+2\left(t-2\right)^2}\left(t=a+b\ge2\sqrt{ab}=3\right)\)

\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t-3\right)\left(t^2-4t+5\right)+\frac{17}{4}}\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Trình bày hơi lủng củng, sr.

Cảm ơn bạn nhiều ạ

b; \(=6\left(x^2-4y^2\right)=6\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)\)

d: =(x-1)(x-4)

e: =(x+3)(x+5)